I-боб. Умумий тушунчалар

2-хоссанинг исботи: бўлсин, яъни га эквивалент бўлсин, у ваšтда . Ќаšиšатан ќам, ( ни билдиради) дан ва бўлганлиги учун муносабатининг транзитив хусусиятига асосан келиб чиšади, яъни . Эквивалентлик муносабатининг симметриклик хоссасидан фойдаланиб, ни исбот этиш мумкин. Демак, .
7-§. Функция тушунчаси. Функциялар суперпозицияси


Функция. Тартибланган жуфтлик. Функциялар тенглиги. Бир šийматли функция. Суперпозиция. Функцияларнинг функцияси. Тескари функция.

Функция тушунчасини олдинги параграфларда ўрганилган терминларда аниšлаймиз. Функциянинг графиги тартибланган жуфтликлар тўпламидан иборат. Функция билан унинг графиги ўртасида ќеч šандай фарš йўš. Функция шундай муносабатки, унинг икки хил элементининг биринчи координаталари ќеч šачон тенг бўлмайди.

Шундай šилиб, муносабати šуйидаги талабларни šаноатлантиргандагина функция бўла олади:
1. нинг элементлари фаšатгина тартибланган жуфтликлардан иборат.
2. Агар ва элементлари бўлса, у ваšтда .
Мисол: 1. , , фунцкциядир. .
2. , , муносабати функция бўла олмайди, чунки ва элементларининг биринчи координаталари тенг.
3. функциядир, чунки агар бўлса, у ваšтда .
4. функция бўла олмайди, чунки унинг элементлари мавжуд.
Агар - функция ва бўлса, яъни бўлса, у ваšтда функциянинг аргументи деб айтилади ва ни функциянинг даги šиймати ёки элементининг образи дейилади.
ни белгилаш учун , , ёки символларни ишлатадилар. cимволни деб, яъни элементининг -образлари тўплами деб šараш мумкин.
Икки ва функциялар бир хил элементлардан тузилган бўлса, бундай функциялар тенг бўлади , яъни бошšача šилиб айтганда, ва бўлсагина, бўлади.
Шундай šилиб, функция берилган бўлиши учун аниšланиш соќаси ва шу соќанинг ќар бир элементи учун унинг šиймати берилиши керак.
дан келиб чиšади.
Агар f функциянинг аниšланиш соќаси бўлса, у ваšтда функциянинг ўзгариш соќаси тўплами ичида бўлади деб айтилади ва šуйидагича белгиланади:
ёки .
Юšорида кўрсатилган ќамма тўплами тўпламнинг šисм тўплами бўлади ва уни деб белгилаймиз.
Агар бўлса, у ваšтда фаšатгина бир элементдан иборат бўлади ва у тўпламнинг бўш šисм тўпламидир.
Агар ва бўлса, у ваšтда .
Агар дан келиб чиšса, у ваšтда f бир šийматли функция дейилади.
Иккита ва функциялар берилган бўлсин. ва функцияларнинг суперпозицияси деб šуйидаги шундай мавжудки, ва тўпламга айтилади ва символи билан белгиланади. Бу тўплам ќам функция бўлади.
Шундай šилиб, функцияларнинг суперпозицияси šуйидагича бўлади:

Функцияларнинг суперпозицияси функцияларнинг функцияси деб ќам айтилади.

ва бўлсин, у ваšтда функция ва функцияларнинг суперпозициясидир.
Суперпозиция амали ассоциативлик šонунига бўйсунади, яъни
.

Агар ва бўлса, у ќолда ва бўлади.

Агар бир šийматли функция бўлса, у ваšтда дан координаталарини ўрнини алмаштириш натижасида ќосил бўладиган функцияга функциясига тескари бўлган функция деб айтилади ва cимволи билан белгиланади.
Фаšатгина бир šийматли функциялар учун бажариладиган бу амалга šайтариш амали дейилади.
нинг аниšланиш соќаси