I bob. Taqribiy integrallashda kvadratur formulalar. Taqribiy Integrallash masalasi

1.4 Umumlashgan kvadratur formulalar. Meler kvadratur formulasi

Qaralayotgan oraliq yetarlicha katta bo’lib, bu oraliqda funksiya to’g’ri chiziq yoki parabolaga yetarlicha yaqin bo’lmasa, u holda to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari yaxshi natija bermaydi.U vaqtda ni yuqori tartibli ko’phad bilan almashtirishga to’g’ri keladi, lekin yuqori tartibli Nyuton-Kotes formulasini qo’llash ham maqsadga muvofiq emas.Bunday holda [a,b] qismiy oraliqlarga bo’lib, har qismiy oraliqda kichik n lar uchun chiqarilgan kvadratur formulalarni qo’llash yaxshi natijaga olib keladi.
Berilgan [a,b] oraliqni (k= ) nuqtalar yordamida uzunligi h= bo’lgan n ta bo’lakka bo’lamiz. Har bir qismi oraliq [ ] bo’yicha oladigan bo’lsak, to’g’ri to’rtburchakning umumlashgan formulasiga ega bo’lamiz:
(1.4.1)
(1.4.2)

Umumlashgan to’g’ri to’trburchak formulasining qoldiq hadi:
(1.4.3)
Umumlashgan trapetsiyalar formulasi:
(1.4.4)

bo’lib, uning qoldiq hadi esa
(1.4.5)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Umumlashgan Simpson formulasini chiqarish uchun [a,b] oraliqning uzunligi ga teng bo’lgan 2n ta oraliqchalarga bo’lamiz va uzunligi 2h ga teng bo’lgan har bir ikkilangan oraliqchalarga Simpson formulasini qo’llaymiz:
(1.4.6)
bundan esa umumlashgan Simpson formulasi

kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, to’rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lganda, umumlashgan Simpson formulasining
(1.4.7)
qoldiq hadini hosil qilamiz.
Meler kvadratur formulasi.
Endi [-1,1] oraliqda
(1.4.8)
vazn bilan kvadratur formula ko’raylik.[-1,1] oraliqda bu vazn bilan ortogonal bo’lgan ko’phad

Chebishev ko’phadi hisoblanadi. Buni tekshirish uchun

integralda x=cos almashtirish bajaramiz:

Ma’lumki,

va barcha k=0,1,…..,n-1 uchun

Bulardan esa kelib chiqadi. Shunday qilib,

Kvadratur formulaning tugunlari tenglamaning
(k=1,2,…,n)
ildizlaridan iboratdir. Bu formulaning koeffisentlari esa

ko’rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun x=cos almashtirish bajaramiz:
(1.4.9)
Integral osti funksiyasining juftligi tufayli:

integral ostidagi funksiya (n-1) – tartibli trigonometrik ko’phadlar.(1.4.9) integralni hisoblash uchun to’g’ri to’rtburchaklar formulasida quyidagi nuqtalarni

olsak, ning aniq qiymatiga ega bo’lamiz.Ravshanki integral ostidagi funksiya

ning nuqtadagi qiymati bo’lganda nolga teng bo’lib, bo’lganda ga teng. Bundan tashqari juft funksiya va , shuning uchun ham . Demak,


Buni ga qo’yib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz quyidagi Meler kvadratur formulasiga ega bo’ldik:

Bu formula ba’zan Ermit formulasi ham deyiladi, bu formulani Ermit o’zining analiz kursiga kiritgan edi
Bu formulaning qoldiq hadini qaraylik.

Shuning uchun ham va

Quyidagiga ishonch hosil qilish qiyin emas:

Shunday qilib,

Meler kvadratur formulasining qoldiq hadini hosil qildik.Endi Meler kvadratur formulasining yechimini Mathcad dasturlash tilida ko’ramiz.

BMI ning 1-bobida integralning geometrik ma’nosi va uni taqribiy hisoblash uchun yaratilgan eng sodda interpolyatsion metodlar haqida ma’lumotlar keltirilgan. Bu metodlar tahlil qilinib qanday ko’rinishdagi misollarda qaysi birini qo’llash yuqori samara berishi aytib o’tilgan. Barcha metodlarni yaqinlashishi va xatoliklari tahlil qilingan. Keltirilgan metodlar uchun Mathcad tizimida algoritm va dasturlar yaratilgan va yaratilgan dasturlar aniq misollarda qo’llanilib bu metodlarni aniqliligi tahlil qilingan.