I bob. Metrik fazolar

2.2-teorema. Biror nuqta to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi ketma - ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. nuqta to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy natural son uchun atrofda kamida bitta element mavjud. Bu nuqtalardan tuzilgan ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashadi.
Yetarliligi. Agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, ixtiyoriy uchun shunday nomer mavjud bo‘lib, bo‘lganda bo‘ladi, ya’ni . Demak, nuqta ning urinish nuqtasi bo‘ladi. ∆
Agar - to‘plamning limitik nuqtasi bo‘lsa, u holda nuqtalarni har xil qilib tanlash mumkin, chunki - cheksiz to‘plam. Shunday qilib, nuqta to‘plam uchun limitik nuqta bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi har xil nuqtalardan tashkil bo‘lgan ketma-ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
metrik fazoni metrik fazoga akslantiruvchi akslantirish uzluksizligi tushunchasini quyidagicha ham ta’riflash mumkin. Bizga akslantirish va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun unga mos keluvchi ketma-ketlik, nuqtaga yaqinlashsa, akslantirish nuqtada uzluksiz deyiladi. 1-§ da keltirilgan uzluksizlik ta’rifi bilan bu ta’rifning teng kuchli ekanligini isbotlashni o‘quvchiga qoldiramiz.


2.2. Zich to‘plamlar
2.7-ta’rif. metrik fazoning ikkita va qism to‘plamlari berilgan bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda to‘plam to‘plamda zich deyiladi. Xususan, agar bo‘lsa, to‘plam hamma yerda zich ( da zich) deyiladi. Agar to‘plam birorta ham sharda zich bo‘lmasa (ya’ni har bir sharda to‘plam bilan umumiy elementga ega bo‘lmagan shar saqlansa), u holda hech yerda zichmas to‘plam deyiladi.