I bob. Matematik modellashtirish tushunchasi

I bob. Matematik modellashtirish tushunchasi (asosiy tushunchalar va ta'riflar)
Murakkab jarayonlarni, hodisalarni o'rganishda, yangi qurilmalarni loyihalashda va boshqalar asosan, Modellashtirishning eng birinchi ma'lum usullari biri o'xshashlik usuli hisoblanadi.
Uning mohiyati shundaki, o'rganilayotgan hodisa eksperimental sharoitda boshqa mashtabda takrorlanadi. Bunday amaliy modelda hodisalarni o'rganish amalga oshiriladi. Bunga misol, samolyot qanotining havo oqimi bilan oqishi hodisalarini o'rganish misol bo'la oladi. Buning uchun qanotning kichik nusxasi yaratiladi va aerodinamik trubaga joylashtiriladi. Havo oqimini o'tkazib, oqim jarayonini kuzatish va qanotning zarur xususiyatlarini eksperimental ravishda topish. Biroq, bu modellashtirish usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Bu bunday modellashtirishni amalga oshirish qiyinligi bilan emas, balki hodisalarni qisqartirilgan miqyosda takrorlash shunchaki hodisaning mohiyatini buzishi va uni o'rganishni osonlashtirmasligi bilan izohlanadi.
Model va modellashtirish nima? Model - bu maxsus yaratilgan ob'ekt bo'lib, unda o'rganilayotgan ob'ektning o'ziga xos xususiyatlari uni o'rganish uchun takrorlanadi.
Modellashtirishni o'rganish uchun o'rganilayotgan ob'ektning ko'rib chiqilayotgan xususiyatlarini deyarli aniq tasvirlash. Modellashtirish ilmiy abstraktsiyaning muhim vositasidir, bu ushbu tadqiqot uchun zarur bo'lgan xususiyatlar - xossalar, munosabatlar, tarkibiy va funktsional parametrlarni ko'rsatish, burtirish va tahlil qilish imkonini beradi.
Model va modellashtirish ob'ektining muvofiqlik darajasi turlicha bo'lishi mumkin. Masalan, funktsional modellar faqat ob'ektning hatti-harakatlarini, funktsiyalarini aks ettiradi. Ular "qora quti" usuli bilan modellashtirish uchun keng qo'llaniladi. "Qora quti" deganda ichki tuzilishi kuzatuvchiga ma'lum bo'lmagan va u uchun ahamiyatsiz bo'lgan tizim tushuniladi, ammo u ushbu tizimning kirish va chiqishlarini o'rganishi mumkin.
Modellar ba'zi fizik ob'ektlar (fizik model) va mavhum ob'ektlar (matematik model) yordamida amalga oshirilishi mumkin. Bunday mavhum model, xususan, modellashtirish ob'ektining xususiyatlarini tavsiflovchi matematik iboralar bo'lishi mumkin. Sof matematik-bu faqat formulalar shaklida yozilgan miqdoriy xususiyatlarni o'z ichiga olgan model.
Matematik modellashtirish eng mukammal va shu bilan birga eng samarali modellashtirish usuli hisoblanadi. Ushbu usul matematik tahlilning kuchli vositalaridan foydalanish uchun eshiklarni ochadi. Agar modelning o'zi real vaziyatni etarlicha yaxshi aks ettirsa, bunday modelni o'rganish natijalari amaliy tadbiqi qiziqish uyg'otadi.
Loyihalash muammolarini o'rganish va hal qilish uchun matematik apparatlar tobora ko'proq jalb qilinar ekan, matematik usullarni yaratish zarurati paydo bo'ldi. Bu chiziqli va chiziqli bo'lmagan dasturlash, dinamik dasturlash, o'yinlar nazariyasi va boshqalar kabi bir qator yangi matematik fanlarning kelib chiqishiga bog'liq.
O'zgaruvchilar uchun cheklashlar mavjud bo'lganda ma'lum funktsiyaning maksimal yoki minimal miqdorini topadigan vazifalar umumiy nom bilan izohlanadi - matematik dasturlash muammolari.
Maksimal yoki minimal talab qilinadigan funktsiya maqsadli funktsiya deb ataladi. Matematik modelda paydo bo'ladigan cheklashlar-bu boshqariladigan o'zgaruvchilar deb ataladigan ruxsat etilgan qiymatlar maydonini toraytiradigan munosabatlar tizimi, ya'ni qiymatlari optimallashtirilishi kerak bo'lgan o'lchanadigan qiymatlar. Boshqariladigan o'zgaruvchilar orqali ifodalangan maqsadli funktsiya va cheklashlar optimallashtirish muammosining matematik modelini tashkil qiladi. Cheklashlarni qondiradigan o'zgaruvchan qiymatlarning har bir to'plami ruxsat etilgan rejani belgilaydi va ularning maksimal yoki minimal darajasiga erishiladigan eng maqbul rejani belgilaydi. Matematik modellar statik va dinamikaga bo'linadi. Agar modelda koeffitsientlar, mustaqil o'zgaruvchilar, cheklashlar vaqtga bog'liq bo'lmasa, model statik, aks holda dinamik bo'ladi.
Optimallashtirish modellarining har birida optimallik mezoni mavjud - maqsadli funktsiya, berilgan cheklashlar uchun global ekstremal qidirilmoqda. Maqsad funktsiyasi va cheklashlariga qarab, matematik modellar quyidagicha:

• 
  chiziqli-maqsadli funktsiya va cheklashlar chiziqli funktsiyalar bilan ifodalanadi;
  
• 
  chiziqli bo'lmagan-maqsadli funktsiya va cheklashlar chiziqli bo'lmagan funktsiyalar bilan ifodalanadi;
  

Agar maqsadli funktsiya yoki cheklashlardagi bir yoki bir nechta mustaqil o'zgaruvchilar faqat diskret qiymatlarni olishi mumkin bo'lsa, diskret.
So'nggi paytlarda issiqlik almashinuvi jarayonlarini tahlil qilish va hisoblash yondashuvi tubdan o'zgardi. Optimallashtirish usullari nafaqat u yoki bu o'rnatishni yaratishda eng maqbul echimni tanlash uchun, balki maqbul boshqaruv uchun ham zarur tarkibiy qismga aylandi.
Loyihalashda bog'liqliklar qo'llaniladi, ularning har biri ob'ektning ma'lum bir xarakteristikasi va unga ta'sir etuvchi omillar o'rtasidagi miqdoriy bog'liqlikdir. Masalan, issiqlik uzatish koeffitsienti tezlik funktsiyalari, ish muhitining xususiyatlari, harorat va boshqalar ko'rinishida taqdim etiladi.
Muhandislik va ilmiy bilimlarni rivojlantirish tajribasi shuni ko'rsatadiki, ba'zi ob'ektlarni loyihalash uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni boshqa o'lchamlar, parametrlar va ba'zi hollarda boshqa fizik xususiyatlarga ega bo'lgan boshqa ob'ektlarni o'rganish orqali olish mumkin. Birinchi ob'ektlar asl deb nomlanadi, ikkinchisi-modellar.
Modellashtirish-bu ularning modellarini kuzatish natijalariga ko'ra asl ob'ektlardan foydalanish usuli. Shunday qilib, modellashtirish vazifasi model bilan tajribalar natijalariga ko'ra, haqiqiy sharoitda bizni qiziqtirgan ob'ektning (asl nusxaning) xatti-harakatlarini sifat va miqdoriy jihatdan taxmin qilishdir.
Modellashtirish - bu ob'ektlarni o'rganish usuli bo'lib, unda eksperiment asl nusxada amalga oshiriladi va tadqiqot natijalari asliga o'tkaziladi. Modellashtirish jarayoniga ikkita asosiy talab mavjud:

• 
  modeldagi tajriba asl nusxadagi tajribadan ko'ra sodda, tezroq, tejamkor bo'lishi kerak;
  
• 
  modelni sinash asosida asl parametrni qayta hisoblash qoidasi ma'lum bo'lishi kerak.
  

Modellashtirish nazariyasi endi ikki yo'nalishda rivojlanmoqda:

• 
  modellar yordamida murakkab issiqlik va massa uzatish jarayonlarini o'rganish va individual fizik parametrlar va o'lchamlarning ta'sirini tahlil qilish (fizik modellashtirish);
  
• 
  kompyuter yordamida jarayonning matematik modelini o'rganish yo'lida (matematik modellashtirish). Ilmiy usul sifatida modellashtirish samaradorligi uskunalarni loyihalashda ishonchlilik darajasini oshiradi.
  

Modellashtirishning quyidagi turlari ajralib turadi: o'xshashlik, analogiyya va matematik modellashtirish.