I-bob. Aniq integral va uning hisoblash usullari

MUNDARIJA

KIRISH…………………………………………………………………………….3

I-BOB. ANIQ INTEGRAL VA UNING HISOBLASH USULLARI.

1.1-§. Aniq integral ta’riflari…………………………………………………….

1.2-§. Aniq integralning mavjudligi va integrallanuvchi funksiyalar sinfi……..

1.3-§. Aniq integralning xossalari……………………………………………

1.4-§. Aniq integrallarni hisoblash…………………………………………...

II-BOB. ANIQ INTEGRALNING BA’ZI BIR TATBIQLARI.

2.1-§. Aniq integralning geometriyadagi tatbiqlari……………………………

2.2-§. Aniq integralning fizik masalalarni yechishdagi tatbiqlari……………..

2.3-§. Aniq integralning iqtisodiyot sohalaridagi tatbiqlari………………..

2.4-§. Aniq integralning telekomunikatsiya tarmoqlaridagi tatbiqlari……….

2.5-§. Aniq integralning limitlarni hisoblashdagi tatbiqlari…………

Xulosa……………………………………………………………………….

Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………….

Ilovalar………………………………………………………………………

1.2-§. Aniq integralning mavjudligi va integrallanuvchi funksiyalar sinfi.

Bu paragrafda funksiya aniq integrali mavjud bo’lishining zarur va yetarli shartini topish masalasi bilan shug’ullanamiz.

Aslida funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi yoki bo’lmasligini ta’rif bo’yicha tekshirish mumkin. Biroq ko’p hollarda integral yig’indining chekli limitga ega bo’lishini ko’rsatish, yuqori va quyi integrallarni topish juda qiyin bo’ladi.

Shuni aytish kerakki, aniq integralning birinchi ta’rifidagi limit tushunchasi o’ziga xos murakkab xarakterga ega bo’lgan tushuncha.

Aniq integralning ikkinchi ta’rifi integral yig’indiga qaraganda birmuncha soddaroq bo’lgan Darbu yig’indilariga asoslanadi.

Demak, integralning mavjudlik kriteriysini ikkinchi ta’rif asosida keltirish maqsadga muvofiq.

funksiya oraliqda aniqlangan va chegaralangan bo’lsin.

1-teorema.

(1.2.1)



Isbot. Zarurligi. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra bo’ladi, bunda



olganda ham shunday son topiladiki, oraliqning diametri bo’lgan har qanday P bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun 2-lemmaga ko’ra tengsizliklar o’rinli bo’lib, undan tengsizlik kelib chiqadi.

Yetarliligi. olinganda ham shunday son topilib, oraliqni diametri bo’lgan har qanday P bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsin. funksiya oraliqda chegaralanganligi uchun uning quyi hamda yuqori integrallari

mavjud va 1-lemmaga ko’ra tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ravshanki,

Bu munosabatdan

bo’lishini topamiz. Demak, son uchun bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligini bildiradi: Teorema isbot bo’ldi.

Agar avvalgidek funksiyaning oraliqdagi tebranishini orqali belgilasak, u holda

bo’lib, yuqorida keltirilgan teorema quyidagicha ifodalanadi.

2-teorema.

(1.2.2)

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

Ravshanki, (1.2.2) munosabatni quyidagi

ko’rinishda ham yozish mumkin. Ko’pchilik hollarda, teoremaning (1.2.3) ko’rinishdagi sharti ishlatiladi.

Integrallanuvchi funksiyalar sinfi.

Endi aniq integralning mavjudligi haqidagi teoremadan foydalanib, ba’zi funksiyalarning integrallanuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.

funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin.

3-teorema. Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.

Isbot. funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsin. Veyershtrassning birinchi teoremasi (Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo’lsin)ga ko’ra funksiya da chegaralangan. Ikkinchi tomondan, Kantor teoremasi (Agar f(x) funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo’ladi) ning natija (Agar f(x) funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda son uchun shunday son topiladiki, [a,b] segmentni uzunliklari dan kichik bo’laklarga ajratilganda, har bir bo’lakdagi funksiyaning tebranishi dan kichik bo’ladi) siga ko’ra olinganda ham shunday son topiladiki, oraliqni uzunliklari dan kichik bo’lgan bo’laklarga ajratilganda, funksiyaning har bir bo’lakdagi tebranishi uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, oraliqni diametri bo’lgan har qanday P bo’laklashda

bo’lib, undan

kelib chiqadi. Demak, (1.2.3) ga ko’ra funksiya da integrallanuvchi. Teorema isbot bo’ldi.

4-teorema.

Isbot. funksiya da chegaralangan va shu oraliqda, aytaylik, o’suvchi bo’lsin. sonni olib, unga ko’ra sonni quyidagicha tanlaylik:

So’ngra oraliqni diametri bo’lgan P bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari ni tuzamiz. U holda

Demak,

.