‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

rot(rotd) = grad diva -  divgrada 
(5.7)
Bu  yerda  divgrada = Aa  bo‘lib,  uni  Aa^JAa^Aa^Aa.}  ko'rinishda 
tushunish kerak. 
- 
Shunday qilib,
div(grad(/) = AU,  rot(grad{/) = 0,  div(rota) = 0, 
rot(rota) =graddiva -divgrada
5.5.  Nabla operatori
Vektor analizining grad,  div,  rot  differensial  amallarini simvolik  V 
vektor  yordamida  (Nabla  vektor  -   Gamilton  operatori)  ifodalash 
qulaydir:
e  
d r  
d   r  
d   r  
\ e  
d  
d
  1 
dx 
dy 
& 
8y  8: f
1) 
V  nabla -  vektoming  «(M)  skalyar funksiyaga ko'paytmasi  shu 
funksiyaning gradientini beradi:
Vu =
8  r  8  -  8  r )
— 1  +— J + ~ £  
8x 
8y 
8:
8u r  8u -  8u r _  
.
«■-=-»  +-=-7+-3-*“ g « du
8x 
8y 
&
Demak, grad u =  V u.
2)  V  nabla -  vektoming
a(M) = ax(x,y,:)7 + ay(x,y ,:)j + a,(x,y,:)k 
vektor  -   funksiya  bilan  skalyar  ko'paytmasi  shu  funksiyaning 
divergensiyasini beradi.
'  8  -  8  -  d  -)   t 
- 
- 
-\
— i + — /  + — *  ■[ax(x,y,:)i + a  (x,y ,:)j + a .(x ,y ,:)k \- 
8x 
8y 
&  )  ' 
’
M -
_8ax  ^  8ay  ^  da7 
8x 
8y 
8z
= diva
Demak,  (V,a)  = diva
3)  V  nabla -  vektoming
a(M) = ax(x,y,:)i + ay(x,y,z)j + a,(x,y,:)k 
vektor  funksiyaga  vektor  ko'paytmasi  shu  funksiyaning  uyurmasini 
beradi:
75
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Demak,
[ v ,a ] =  rot5
4) skalyar 
maydon 
u 
ning 
Laplas 
operatori 
A 
uchun 
Au = div(gradw) = (v,v«) = VJ«  yoki simvolik ko'rinishda  A = (v ,v ) = V1
5) yo‘nalish bo‘yicha hosila
^ • = ( / ‘,,grad«) = (ro,V«] = ( /#,v)M  yoki simvolik ko'rinishda  J^= (/°,v).
V  operatorini foydalanishda uning vektor va differensial tabiatini 
hisobga olish kerak.
V  operatorinio‘zgaruvchilar k o ‘paytm asiqatnashm agan ifodaga 
ishlatiiishL
Nabla operatorini o ‘zgaruvchilar ko ‘paytmasi qatnashmagan ifodaga 
ishlatish  vektor  algebrasi  qoidalariga  mos  keladi.  Shuni  nazarda  tutish 
lozimki,  V  operator ta 'sir qiluvchi obyekt undan keyin turishi kerak.
Buni quyidagi misollarda tushintiramiz.
1)  c  o‘zgarmas  vektor bo'lsin.  rot(«c) = [v,Mc] = [v«,c] = [gra/M,c].
Bu  yerda  u  o‘zgaruvchi  V  yoniga  vektorga  vektorlar  algebrasi  qoida- 
lariga  ko‘ra  o‘tkazilgan  (vektor  ko'paytma  xossasiga  ko‘ra  u  skalyami 
ikkinchi vektordan birinchi vektor qoshiga o'tkazish munikin).
2)  V  operatordan  foydalanib  (5.7)  formulani  keltirib  chiqarish 
mumkin:
rot (rot 5)= [ V, [ V,a ]] = V (V 5) -  (V v] a = grad di v 5 -  di vgrad a.
Bu yerda biz ikkilangan vektor ko‘paytma xossasidan foydalandik: 
[5,[£,c]] = 6(3c)-c(fl6 ) = 6(5c)-(fl£)c.
Yuqorida keltirilganga ko‘ra  divgrad5 = A5 = {Aa^Aa^Aa,}.
3)  yana  shu  narsani  ko'zdan  qochirmaslik  kerakki,  (v ,5 )* (5 ,v ).
(V5) = div5 = — + — + ^ -   bo‘lib,  u  funksiyadan  iborat.  (5,v)  esa