Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2.2. Chegaralangan to‘plam.
3-ta’rif. Agar (X,
ρ
) metrik fazodagi M to‘plam biror shar ichida joylashgan
bo‘lsa, bu to‘plam chegaralangan deyiladi.
Bu ta’rifning quyidagi ta’rifga ekvivalent ekanligini tekshirish murakkab
emas:
Agar (X,
ρ
) metrik fazodagi M to‘plamga tegishli barcha x va y nuqtalar
uchun,
ρ
(x,y) tengsizlikni qanoatlantiruvchi K musbat son mavjud bo‘lsa, u
holda M to‘plam chegaralangan deyiladi.
Agar bir to‘plamda ikki xil metrika berilgan bo‘lsa, u holda qaralayotgan M
to‘plam bir metrikaga nisbatan chegaralangan, ikkinchi bir metrikaga nisbatan
chegaralanmagan bo‘lishi mumkin.
Masalan, natural sonlar to‘plami
ρ
(n,m)=|n–m| metrikaga nisbatan
chegaralanmagan, lekin
ρ
1
(n,m)=
0,
agar
,
1
1
,
agar
m n
m n
m n
=
⎧
⎪
⎨
+
≠
⎪
+
⎩

metrikaga nisbatan chegaralangandir.

Ravshanki, 1 dan farqli barcha n larda
ρ
1
(1,n)<2 bo‘ladi, ya’ni bu metrikaga
nisbatan barcha natural sonlar to‘plami, markazi 1 nuqtada radiusi 2 ga teng ochiq
sharga tegishli bo‘ladi.

2.3. To‘plamning urinish, limit nuqtalari
4-ta’rif. Agar x
0
∈
X nuqtaning ixtiyoriy atrofida M to‘plamning x
0
dan farqli
elementi mavjud bo‘lsa, u holda x
0
nuqta M ning limit nuqtasi deyiladi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Misollar. 1) (
n
R
,
ρ
) metrik fazodagi S(x ,r) ochiq sharning limit nuqtalari
to‘plami
0
_
S
)
,
(
0
r
х
yopiq shardan iborat bo‘ladi.
2) Endi (
R
,
ρ
) metrik fazodagi, ya’ni sonlar o‘qidagi ba’zi to‘plamlarni
qaraymiz:
a) E
1
= N  natural sonlar to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plamning birorta ham limit
nuqtasi mavjud emas.
b) E
2
={1/n : n=1,2,
…
} bo‘lsin. Bu to‘plamning birgina limit nuqtasi 0 bor
va 0
∉E
2
.
c) E
3
=(0;1). Bu to‘plamning limit nuqtalari [0;1] kesmaning barcha
nuqtalaridan iborat.
d) E
4
=(0;1)
∩Q bo‘lsin. Bu to‘plamning limit nuqtalari ham [0;1] kesmaning
barcha nuqtalaridan iborat.
5-ta’rif. Agar x
0
∈
X nuqtaning ixtiyoriy atrofida M to‘plamning kamida bitta
element mavjud bo‘lsa, x
0
nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi.
Limit nuqta urinish nuqtasi bo‘ladi, lekin aksinchasi har doim ham o‘rinli
emas. Masalan, chekli to‘plamning har bir nuqtasi urinish nuqta bo‘ladi, ammo u
limit nuqta bo‘la olmaydi. Yuqoridagi E
1
va E
2
to‘plamlarning barcha nuqtalari
urinish nuqtalardir.