Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине

Тема 2.3 Основные математические понятия


Ключевые вопросы: множества и их виды, элементы множества, подмножества; число и цифра; история развития числа и деятельности счета; счет как деятельность; элементы счетной деятельности; системы счисления, их характеристика; способы записи чисел, история развития; натуральное число; натуральный ряд чисел, его свойства; понятие геометрической фигуры; фигуры планиметрии и стереометрии; понятие величины; измерение величин; относительные и абсолютные величины; понятия пространства и времени; свойства пространства; многомерность пространства.
Множество – совокупность элементов, выделенных по какому-либо признаку в обособленную группу.
Множество – одно из основных математических понятий. Множество ассоциируется с понятием группа.
Понятие множества является основным понятием математики, оно не определяется через другие уже известные. Его смысл раскрывается путем описания. Например, множество игрушек, множество красных ленточек, множество детей в группе и др. все эти различные совокупности называют множествами.
Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.
Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам.
Например, свойством быть красным обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством быть круглым обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др. Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства.
Под характеристическим свойством множества подразумеваются такое свойство, которым обладают все объекты, принадлежащие данному множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом.
Если некоторое множество А задано указанием характеристического свойства Р, то это записывается следующим образом:
А = {х | Р(х)}
и читается так: «А – множество всех х таких, что х обладает свойством Р», или, короче, «А – множество всех х, обладающих свойством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и только те предметы, которые обладают этим свойством.
Таким образом, если множество А задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству А, и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству А, то он обладает свойством Р.
Некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные. Это зависит от количества элементов множества.
Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:{х | х - живет на Садовой улице) или перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}. Т.е. множество детей в группе – конечное множество.
Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.
Все числовые множества – бесконечные. Для них приняты специальные обозначе-ния: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.
Так или иначе, математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах.