Uch karrali integrallarning mexanikaga tadbiqlari

T
f x y z dV

(0.3) 
uch karrali integral mavjud va 
 
,
a b
oraliqdagi har bir tayinlangan 
x
uchun
 


 
, ,
R
I x
f x y z dR


(0.4) 
ikki karrali integral va shuningdek 


 
, ,
b
a
R
dx
f x y z dR
 
(0.5) 
takroriy integral mavjud bo’lsa 




 
 
, ,
, ,
b
T
a
R
f x y z dT
dx
f x y z dR


 
(0.6) 
tenglik o’rinli bo’ladi [1-8]. 

---

8 
agar 
 
V
sohada 
P
x


va 
Q
y


hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan 


, ,
P x y z
va 


, ,
Q x y z
funksiyalar uchun
 


 
, ,
V
S
P
dxdydz
P x y z dydz
x





(0.7) 
 


 
, ,
V
S
Q
dxdydz
Q x y z dxdz
y





(0.8) 
formulalarga ega bo’lamiz. 
Bu uchta (0.1), (0.2), (0.3) formulalarni qo’shib, Ostrogradskiyning umumiy 
formulasini hosil qilamiz: 
 
V
P
Q
R
dxdydz
x
y
z






















 
, ,
, ,
, ,
S
P x y z dydz
Q x y z dzdx
R x y z dxdy



(0.9) 
Endi uch karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish qanday bo’lishini tushunturib 
o’tamiz.
Fazo 
xyz
to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga, boshqa bir fazo esa 

koordinatalar sistemasiga ega bo’lsin. Bu fazolarda mos ravishda 
 
S
va 
(
)

sirtlar bilan 
chegaralangan ikkita 
 
D
va 
 

yopiq sohalarni qaraylik. Bu sohalar bir – biri bilan 
quyidagi formulalar 






, ,
, ,
, ,
x
x
y
y
z
z
  
  
  








(0.10) 
bilan o’zaro bir qiymatli uzluksiz munosabat bilan bog’langan bo’lsin. Buning uchun 
(
)

sirtning nuqtalariga 
 
S
sirtning nuqtalari mos kelishi kerak va aksincha. 
(0.10) funksiyalar 
 

sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin. U holda




, ,
, ,
D x y z
D
  
(0.11) 
yakobian ham 
 

sohada uzluksiz funksiya bo’ladi. Bu ditermenantni har doim noldan 
farqli va ishorasini saqlasin deb hisoblaymiz. 
Agar 
 

sohada ushbu

---

9 
 
 
 
,
,
,
,
,
u v
u v
u v
 
 
 



(0.12) 
bo’lakli-silliq sirtni olsak, (0.10) formula bu sirtni 
D
sohadagi bo’lakli-silliq sirtga 
akslantiradi. Bu sirt esa
     


 
 
 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
x
u v
u v
u v
x u v
y
y u v
z
z u v







(0.13) 
tenglama bilan aniqlanadi. 
xyz
va 

fazolardagi 
 
D
va 
 

sohalar orasidagi (0.12) moslik o’rnatilgan 
bo’lsin. (0.13) formuladagi barcha shartlar bajarilgan deb hisoblab ushbu tenglik 


 
, ,
D
f x y z dxdydz



 
 





 
, ,
,
, ,
,
, ,
, ,
f x
y
z
J
d d d
  
  
  
  
  



(0.14) 
bu erda 






, ,
, ,
,
, ,
D x y z
J
D
  
  

o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Bunda 


, ,
f x y z
funksiyani uzluksiz deb faraz qilamiz va chekli sondagi bo’lakli-silliq sirtlarda uzilishga ega 
bo’lsin. 
II bobda uch karrali integaralning mexanikaga tadbiqlari o’rganilgan bo’lib, misollar 
yordamida tadbiqlari olingan. 
Tabiyki, barcha geomitrik va mexanik kattaliklar fazodagi 
 
V
jismning massasiga 
bog’liqdir. Bunday holni uch karrali integral orqali ifodalaymiz.

orqali 
 
V
jismning ixtiyoriy nuqtadagi zichligini belgilaylik: u nuqtaning 
koordinatalarini funksiyasi bo’ladi va bu funksiyani har doim uzluksiz deb faraz qilamiz. 
dm
dV
dxdydz




massa elementlarini yig’ib chiqamiz va barcha massa kattaliklar 
uchun 
 
 
V
V
m
dV
dxdydz






(0.15) 
ega bo’lamiz. 
Elementar statistik momentlar uchun ushbu
,
yz
dM
xdm
x dV



,
zx
dM
ydm
y dV



,
xy
dM
zdm
z dV



munosabatlar urinli bo’lishini topamiz. Statistik momentlarni topish formulasi

---

10 
 
 
,
yz
V
V
M
x dV
x dxdydz






 
 
,
zx
V
V
M
y dV
y dxdydz






(0.16) 
 
 
,
xy
V
V
M
z dV
z dxdydz






iborat bo’ladi.
Og’irlik markazining koordinatalari uchun
 
 
 
,
,
V
V
V
x dV
y dV
z dV
m
m
m












(0.17) 
formulalar urinli bo’ladi [1-5]. 
Bir jinsli jism uchun 
const


bo’ladi va og’irlik markazining koordinatalari uchun
 
 
 
,
,
V
V
V
x dV
y dV
z dV
m
m
m












(0.18) 
munosabatlar urinli bo’ladi. 
Koordinata o’qlariiga nisbatan inersiya momentlari uchun


 


 
2
2
2
2
,
,
x
y
V
V
I
y
z
dV I
z
x
dV










 
2
2
,
z
V
I
x
y
dV




(0.19) 
formulalar o’rinli bo’ladi. 
Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari 
 
 
 
2
2
2
,
,
zy
xz
xy
V
V
V
I
x
dV I
y
dV I
z
dV









(0.20) 
formulalar bilan hisoblanadi. 
Xulosa qismida bitiruv malakaviy ishda olingan natijalar keltirilgan. 

---

11 
 I BOB. Uch karrali integrallar va uni hisoblash 
1-§. Uch karrali integral va uni hisoblash. 
 
Avvalo uch karrali integralga keladigan masalalarni ko’rib chiqaylik. Ulardan biri 
jismning massasini hisoblash haqida masala [1-5]. 
Massa bilan to’ldirilgan biror 
 
V
jism berilgan bo’lsin. Uning har bir 


, ,
M x y z
nuqtasida bu jismning 
 


, ,
M
x y z
 



zichligi ma’lum bo’lsin. Shu jismning 
m
massasini aniqlash talab etilgan bo’lsin. 
Bu masalani echish uchun 
 
V
sohani bo’laklarga ajratamiz: 
     
1
2
,
,...,
n
V
V
V
uning bo’laklari bo’lsin va har bir bo’lakdan 


, ,
i
i
i
i
M
  
nuqtani tanlaylik. Har bir 
 
i
V
bo’lakda zichlik o’zgarmas va 


, ,
i
i
i
   
ga teng. U holda bo’lakning massasi 
i
m
taqriban 


, ,
i
i
i
i
i
m
V
   

ga teng. Butun jismning massasi esa taqriban 


1
, ,
n
i
i
i
i
i
m
V
   



teng bo’ladi. Bo’laklarning diametrini 
 
i
d V
desak, bo’linishning diametri 
 
1
max
V
i
i n
d
d V
 

nolga intilsa, u holda bu taqribiy tenglik aniq bo’lib, 


0
1
lim
, ,
V
n
i
i
i
d
i
m
dV
   




(1.1) 
va masala echildi. 
Bu masalani echimidan ko’rinadiki, bunday qatorlardan limit olish integral 

---

12 
Yig’indilardan limit olishga o’xshash bo’layapti. Bunday limitlar ko’proq mexanika va fizika 
masalalarida uchraydi. Bu limitning qiymati uch karrali integral deb ataladi. U holda
jismning massasi


 
, ,
V
m
x y z dV



(1.2) 
ko’rinishda yoziladi. 
Endi uch karrali integralning mavjud bo’lish shartlarini keltiramiz. 
Biror
 
V
sohada 


, ,
f x y z
funksiya berilgan bo’lsin. Bu sohani fazoviy to’r 
orqali chekli sondagi 
     
1
2
,
,...,
n
V
V
V
bo’laklarga bo’lamiz. Bu bo’laklar mos ravishda 
1
2
,
,...,
n
V V
V
hajmlarga ega bo’lsin. 
i

chi 
 
i
V
bo’lakdan ixtiyoriy 


, ,
i
i
i
  
nuqta olib, 
bu nuqtadagi funksiyaning 


, ,
i
i
i
f
  
qiymatini shu bo’lakchaning hajmi 
i
V
ga 
ko’paytiramiz. Barcha bo’lakchalardagi bunday ko’paytmalarni yig’ib, ushbu


1
, ,
n
i
i
i
i
i
f
dV

  



integral yig’indini tuzamiz [1,2]. 
Ta’rif.
 
i
V
bulaklarning diametri nolga intilganda integral yig’indining chekli
J
limiti 


, ,
f x y z
funksiyaning 
 
V
soha bo’yicha uch karrali integrali deyiladi va




 
 
, ,
, ,
V
V
J
f x y z dV
f x y z dxdydz




kabi belgilanadi [1]. 
Bu chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo’ladi. Bunday funksiyalar 
uchun 

integral yig’indidan tashqari yana Darbu yig’indilarini ham tuzib olishimiz kerak: 
1
1
,
,
n
n
i i
i i
i
i
s
mV
S
M V






bu erda 
 
 
 
 
inf
,
.
i
i
i
i
V
V
m
f
M
Sup f


Uch karrali integralning mavjud bo’lishi uchun


0
lim
0
V
S
s
 
 
yoki 
0
1
lim
0
V
n
i
i
i
V







---

13 
shartni bajarilishi zarur va etarli. Bu erda 


, ,
i
i
i
M
m
f x y z



funksiyaning 
 
i
V
sohadagi tebranishi deyiladi. 
Bundan har qanday uzluksiz funksiyaning integrallanuvchiligi kelib chiqadi. 
Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning ba’zi muhim xossalarini 
keltiramiz [3,4]. 
1
0
. Agar 
     
V
V
V




bo’lsa, 


 


 


 
, ,
, ,
, ,
.
V
V
V
f z y z dV
f z y z dV
f z y z dV







Chap tomondagi integrallarning mavjudligidan o’ng tomondagi integralning ham mavjudligi 
kelib chiqadi va aksincha. 
2
0
. Agar 
k
const

bo’lsa,


 


 
, ,
, ,
.
V
V
kf x y z dV k
f x y z dV



Chap tomondagi integrallarning mavjudligidan o’ng tomondagi integralning ham mavjudligi 
kelib chiqadi va aksincha. 
3
0
. Agar 
 
V
sohada 


, ,
f x y z
va 


, ,
g x y z
funksiyalar integrallanuvchi bo’lsa, 
f
g

funksiya ham 
 
V
sohada integrallanuvchi va






 


 


 
, ,
, ,
, ,
, ,
V
V
V
f x y z
g x y z
dV
f x y z dV
g x y z dV






munosabat o’rinli. 
4
0
. Agar 
 
V
sohada integrallanuvchi 


, ,
f x y z
va 


, ,
g x y z
funksiyalar uchun
f
g

tengsizlik bajarilsa, 


 


 
, ,
, ,
V
V
f x y z dV
g x y z dV



tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. 
5
0
. 


, ,
f x y z
funksiya integrallanuvchi bo’lsa, 


, ,
f x y z
funksiya ham 
integrallanuvchi bo’ladi va


 


 
, ,
, ,
V
V
f x y z dV
f x y z dV



tengsizlik o’rinli bo’ladi. 
6
0
. 
 
V
sohada integrallanuvchi 


, ,
f x y z
funksiya uchun

---

14 


, ,
m
f x y z
M


tengsizlik o’rinli bo’lsa,


 
, ,
V
mV
f x y z dV
MV



tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. 
Shu o’rinda o’rta qiymat haqida teorema uchun




 
, ,
V
f x y z dV
V
m
M



 

tenglikdan foydalanamiz. 


, ,
f x y z
funksiya uzluksiz bo’lgan holda ushbu formulani 
quyidagi




 
, ,
, ,
V
f x y z dV
f x y z V


(1.3) 
ko’rinishda ham yozish mumkin, bu erda 


, ,
x y z
nuqta 
 
V
sohaning biror nuqtasi. 
Chegarasi o’zgaradigan soha bo’yicha uch karrali integralni kiritamiz.
 
v
- chegarasi o’zgaruvchili soha bo’lsin. U holda
 
 


 
, ,
v
v
f x y z dV



(1.4) 
munosabat o’rinli. 
Endi xuddi shunga o’xshash 
 
 
v

funksiyadan berilgan 
M
nuqtada soha bo’yicha 
hosila tushunchasini ham kiritish mumkin, ya’ni ushbu
 
 
 
lim
v
M
v
v


limit 
 
 
v

funksiyadan 
 
v
soha bo’yicha hosilasini ifodalaydi. 
7
0
. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lsa, (1.4)
integraldan 
M
nuqtada soha bo’yicha hosilasi integral ostidagi funksiyaning shu nuqtadagi
qiymatiga teng. 
 


, ,
.
f M
f x y z

Shuning uchun yuqoridagi (1.4) integral 


, ,
f x y z
funksiya uchun qaysidir ma’noda 
«boshlang’ich» funksiya sifatida qabul qilsa bo’ladi. 
Uch karrali integralni hisoblashning ba’zi hollarini keltiramiz [3,4]. 

---

15 
Faraz qilaylik qaralayotgan sohamiz 
 


, , , ; ,
T
a b c d e f

to’g’ri burchakli 
parallelopipeddan iborat bo’lsin. Shu sohada 


, ,
f x y z
funksiya berilgan bo’lsin. 
 
T
sohaning 
yz
tekislikdagi proeksiyasi 
 


, ; ,
R
c d e f

to’g’ri to’rtburchakdan iborat. 
Teorema
. Agar 


, ,
f x y z
funksiya uchun


 
, ,
T
f x y z dV

(1.5) 
uch karrali integral mavjud va 
 
,
a b
oraliqdagi har bir tayinlangan 
x
uchun
 


 
, ,
R
I x
f x y z dR


(1.6) 
ikki karrali integral va shuningdek 


 
, ,
b
a
R
dx
f x y z dR
 
(1.7) 
takroriy integral mavjud bo’lsa 




 
 
, ,
, ,
b
T
a
R
f x y z dT
dx
f x y z dR


 
(1.8) 
tenglik o’rinli bo’ladi [3,4,5]. 
Isbot
. 
   
,
,
,
a b
c d
va 
 
,
e f
oraliqlarni
0
1
0
1
0
1
...
...
,
...
...
,
...
...
,
i
n
j
m
k
l
x
a
x
x
x
b
y
c
y
y
y
d
z
e
z
z
z
f
     

 
 
 

   
  
nuqtalar yordamida bo’laklarga bo’lamiz, o’z navbatida 
 
T
parallelopiped ham
 


, ,
1
1
1
,
;
,
;
,
0,1,...,
1;
0,1,...,
1;
0,1,...,
1
i j k
i
i
j
j
k
k
T
x x
y y
z z
i
n
j
m
k
l





 







elementar parallelopipedlarga bo’linadi. Bir vaqtda 
 
R
to’g’ri to’rtburchar ham 
 
,
1
1
,
;
,
j k
j
j
k
k
R
y y
z z




 

elementar to’g’ri to’rtburchakka bo’linadi. Agar


 


 
, ,
, ,
, ,
, ,
inf
,
,
i j k
i j k
i j k
i j k
T
T
m
f
M
Sup f


deb olsak, 6
0
xossaga ko’ra 


1
,
i
i
x
x x

 
uchun

---

16 


 
,
, ,
, ,
, ,
j k
i j k
j
k
i j k
j
k
R
m
y
z
f x y z dydz
M
y
z
  

 

ega bo’lamiz. 
i
x

 
qiymatlarni fiksirlab 
j
va 
k
larning barcha qiymatlari bo’yicha 
tengsizlikda yig’ib chiqamiz va
 
, ,
, ,
i j k
j
k
i
i j k
j
k
j
k
j
k
m
y
z
I
M
y
z

  

 


tengsizlikni hosil qilamiz. Bu erda
 


 
, ,
i
i
R
I
f
y z dydz




. 
Bu tengsizlikni 
i
x

ga ko’paytirib 
i
ning qiymatlari bo’yicha yig’ib chiqamiz: 
 
, ,
, ,
.
i j k
i
j
k
i
i
i j k
i
j
k
i
j
k
i
i
j
k
m
x y
z
I
x
M
x y
z

   
 
  



Chetki hadlar (1.5) integral uchun Darbu yig’ndilari hisoblanadi. 
,
,
i
j
k
x
y
z
  
lar nolga 
intilganda (1.5) integralga teng bo’ladi. O’rta had esa 
 
i
I

funksiyaning integral 
yig’indisi bo’lib, 
0
i
x
 
da (1.7) integralga teng bo’ladi va (1.8) tenglikning bajarilishi 
kelib chiqadi. Teorema isbotlandi [3,4]. 
Agar 


, ,
f
e
f x y z dz

(1.9) 
integral ham fiksirlangan 
 
,
x
a b
 
va 
 
,
y
c d
 
lar uchun mavjud bo’lsa, (1.8) dagi ikki 
karrali integral takroriy integral bilan almashtirilib




 
, ,
, ,
f
b
d
T
a
c
e
f x y z dT
dx dy f x y z dz


  
(1.10) 
hosil qilamiz. 
Shunday qilib, uch karralli integralni 
hisoblash uchta sodda integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. (1.10) da 
, ,
x y z
o’zgaruvchilarni joylashishini ixtiyoriy ravishda olish mumkin. 
Endi ixtiyoriy soha bo’yicha uch karrali integralni hisoblaymiz. 
 
V
- ixtiyoriy jism 
berilgan bo’lsin. Agar 


, ,
f x y z
funksiya 
 
V
sohada aniqlangan bo’lib, bu funksiya bilan 
birga


*
, ,
f
x y z
funksiya ham berilgan bo’lsin. Bu funksiya 
 
V
sohani to’ldiruvchi 
 
T
to’g’ri to’rtburchakli parallelopipedda aniqlangan, ya’ni 

---

17 



  
 
*
, ,
da 
, ,
0
ning tashqarisida.
f x y z
V
f
x y z
V

 

Shu yo’l orqali yuqorida keltirilgan usulga kelamiz. 
 
V
jism 
0
x
x

va 
x
X

tekisliklar 
orasida joylashgan bo’lsin. 
 
x
P
orqali bu jismning 
yz
tekislikdagi proeksiyasini belgilaylik. 
U holda ikki va uch karrali integralning mavjudligidan 




 
 
0
, ,
, ,
x
X
V
x
P
f x y z DV
dx
f x y z dydz


 
(1.8
*
) 
bo’lishi kelib chiqadi. Bu (1.8) formulani analogi bo’ladi. 
Endi 
 
V
jism mos ravishda yuqori va quyidan
 
,
z
z x y

va 
 
,
z
Z x y

sirtlar 
bilan 
chegaralangan «silindrik brus»dan bo’lsin. Bu sohaning 
xy
tekislikdagi proeksiyasi 
 
D
figura va 
 
K
egri 
chiziq bilan chegaralangan bo’lsin. Demak, 
 
V
jism 
yon tomondan 
z
o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt va 
 
K
yo’naltiruvchi egri chiziq bilan chegaralangan 
ekan. U holda (1.7) formulaning anologi


 


 
 
 
0
,
,
, ,
, ,
Z x y
V
D
z
x y
f x y z dV
dxdy
f x y z dz




(1.7
*
) 
ko’rinishda bo’ladi. Buning uchun ikki karrali va oddiy integralning mavjudligi talab etiladi. 
Agar 
 
D
soha 
 
0
y
y x

va 
 
0
(
)
y
Y x
x
x
X

 
chiziqlar 
bilan 
chegaralangan 
egri 
chiziqli 
trapetsiyadan iborat bo’lsa, 
 
V
jism 
yuqoridagi ikkinchi tipdagidek bo’ladi. 
Ikki karrali integralni (1.8
*
) yoki (1.7
*
) 
kabi almashtirsak, 


 
 
 


 
 
0
0
0
,
,
, ,
, ,
Y x
Z x y
X
V
x
y x
z
x y
f x y z dV
dx
dy
f x y z dz


 

(1.10
*
) 

---

18 
formulani hosil qilamiz. Bu formula (1.10) formulaning umumlashgan holi hisoblanadi. 
Yuqorida keltirilgan hollar uchun misollar ko’rib chiqamiz. 
1-misol. Ushbu
 
V
K
zdxdydz


integral hisoblansin. Bu erda 
 
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
V
a
b
c




ellipsoidning yuqori yarim qismidan 
iborat soha bo’lsin.
Bu 
 
V
jismning 
xy
tekislikdagi proeksiyasi 
2
2
2
2
1
x
y
a
b


ellipsdan iboratdir. 
Shuning uchun 
x
ning o’zgarish oralig’i 
a

dan 
a
gacha bo’ladi, tayinlangan 
x
ning 
qiymatlarida 
y
o’zgaruvchi 
2
2
b
a
x
a


dan 
2
2
b
a
x
a

gacha o’zgaradi. Berilgan 
 
V
jism pastdan 
xy
tekislik, yuqoridan ellipsoid sirt bilan chegaralangan, tayinlangan 
x
va 
y
lar uchun 
z
o’zgaruvchi 0 dan 
2
2
2
2
1
x
y
c
a
b


gacha o’zgaradi. 
Shunday qilib, (1.10
*
) formulaga ko’ra 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
0
1
2
x
y
b
b
c
a
x
a
x
a
a
a
b
a
a
b
b
a
a
a
x
a
x
a
a
c
x
y
I
dx
dy
zdz
dx
dy
a
b




























2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
0
2
1
3
b
a
x
a
a
a
a
a
x
y
bc
c
dx
dy
a
x
dx
a
b
a




















2
3
2
2
2
2
2
0
4
.
3
4
a
bc
a
x
dx
abc
a





2-misol. Ushbu
 
A
I
zdxdydz


integral 
hisoblansin. 
Bu 
erda 
 
A
jism 


2
2
2
2
2
h
z
x
y
R


konusli sirt va 
z
h

tekislik 
bilan chegaralangan soha. 
(a) 
konusli 
sirtni 
xy
tekislikdagi 
proeksiyasi 
 
2
2
2
Q
x
y
R


doiradan iborat. 
(1.7
*
) formuladan foydalanib 

---

19 
 


 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
h
h
Q
Q
x
y
R
h
I
dxdy
zdz
h
x
y
dxdy
R














bo’ladi. Bundan qutb koordinatalariga o’tib, 


2
2
2
2
2
2
2
0
0
.
2
4
R
h
R h
I
d
R
r
rdr
R






 
(b) boshqa usulda integralning qiymatini
 
0
h
D
I
zdz
dxdy

 
ko’rinishda ham hisoblab topish mumkin [1-8]. Bu erda 
 
D
xy
tekislikdagi proeksiyasi 
bilan balandlik yotgan 
z
tekislikning kesishmasi. Bu proeksiya 
Rz
h
radiusli doiradan iborat. 
Shuningdek ikki karrali integral doiraning yuzi
2
2
2
R
z
h

ga teng. Bundan
2
2
2
3
2
0
4
h
R
R h
I
z dz
h





bo’lishini topamiz. 

---