Toshkent arxitektura qurilish instituti matematika va tabiiy fanlar kafedrasi

Matritsalarni ko‘paytirish 

        



A

satr    martitsa  va 



B

ustun  matritsa  bir  xil  sondagi  elementlarga  ega 

bo‘lsin deylik. Bunda 

A

 satrning  

B

 ustunga ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi: 





,

...

...

...

1

1

12

12

11

11

1

12

11

1

12

11

n

n

n

n

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

AB





































 

ya’ni  ko‘paytma  matritsalarning  mos  elementlari  ko‘paytmalarining  yig‘indisiga 

teng bo‘ladi

5

. 

Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi 

satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi

 

deb yuritiladi. 

        Ikki    matritsani    ko‘paytirish    amali

   

moslashtirilgan   matritsalar

   

uchun  

kiritiladi

.   

A

   matritsaning     ustunlari   soni    

B

    matritsaning   satrlari   soniga    

teng   bo‘lsa,   

A  

va

  

B  

matritsalar  moslashtirilgan

 deyiladi. 

        4-ta’rif

.

 

p

m



 o‘lchamli 

)

(

ij

a

A



matritsaning 

n

p



 o‘lchamli      

)

(

jk

b

B



 

matritsaga  ko‘paytmasi 

AB  

deb, 

ik

c

elementi 

A

  matritsaning 

i

-satrini                  

B

 matritsaning 

j

-ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi bilan, ya’ni    

n

k

m

i

b

a

b

a

b

a

b

a

c

p

r

rk

ir

pk

ip

k

i

k

i

ik

,...,

1

,

,...,

1

,

1

2

2

1

1





















 

(qo‘shiluvchlari  quyidagi  sxemada  keltirilgan)  kabi    aniqlanadigan 

n

m



   

o‘lchamli 

)

(

ik

c

C



 matritsaga aytiladi. 

        

 

 

 

 

 

 

 

                                                 

5

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265

 

i

 

k

 



















































































































...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

 

---

 

 

                  

1.4-misol

.

 

Berilgan matritsalarni ko‘paytiring. 

1. 









);

10

(

4

1

3

2

1

3

4

2

























  

2. 





;

4

3

8

6

4

1

3

1

4

2

3

2

4

3

1

2





























































 

3. 

;

50

43

22

19

8

4

6

3

7

4

5

3

8

2

6

1

7

2

5

1

8

7

6

5

4

3

2

1















































































 

4. 









































3

0

1

4

2

3

2

0

4

3

1

2

 

.

6

0

2

0

6

13

11

4

5

3

2

4

0

0

2

2

0

)

1

(

2

3

0

3

4

4

3

0

4

2

3

)

1

(

4

3

3

3

1

4

2

0

1

2

2

)

1

(

1

3

2





















































































































 

Agar 

A

  matritsaning  satrlarini   

m

A

A

A

,...,

,

2

1

  bilan  va 

B

  matritsaning 

ustularini 

n

B

B

B

,...,

,

2

1

 bilan belgilansa, u holda matritsalarni ko‘paytirish qoidasini 

quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: 





























































n

m

m

m

n

n

n

m

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

B

A

A

A

AB

C

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

. 

Matritsalarni  ko‘paytirishda 

2

A

yozuv ikkita bir xil matritsani ko‘paytmasini  

bildiradi: 

A

A

A





2

. Shu kabi 











...

3

A

A

A

A

.

...







marta

n

n

A

A

A

A









 

1.5-misol. 

5

2

)

(

2







x

x

x

f

 

va

 

















2

0

1

1

A

 bo‘lsin. 

)

(

A

f

ni toping. 

Yechish.

 

Matritsa ko‘rinishdagi 

)

(

A

f

 funksiyaga o‘tishda 



 sonli  

qo‘shiluvchi 

I



 ko‘paytma bilan almashtiriladi, bu yerda 

I

- birlik matritsa.

 







































































1

0

0

1

5

2

0

1

1

2

0

1

1

2

0

1

1

2

5

2

)

(

2

I

A

A

A

f

 

---

 

 

.

5

0

1

6

5

0

0

5

4

0

3

1

4

0

2

2





























































 

        Umuman  olganda  matritsalarni  ko‘paytirish  nokommutativ,  ya’ni 

BA

AB



. 

Masalan, 

n



1

  o‘lchamli 

A

  matritsaning 

1



n

  o‘lchamli 

B

  matritsaga 

AB

 

ko‘paytmasi  sondan,  ya’ni 

1

1



  o‘lchamli  matritsadan  iborat    bo‘lsa, 

BA

 

ko‘paytmasi 

n

- tartibli kvadrat matritsa bo‘ladi. 

        Bir xil  tartibli 

A

 va 

B

 kvadrat matritsalar  uchun  

BA

AB



  bo‘lsa, 

A

 va 

B

  

matritsalarga  

kommutativ  matritsalar

, 

BA

AB



 ayirmaga 

kommutator

 deyiladi. 

1.6-misol. 















3

0

1

2

A

 va 

















1

4

5

3

B

 matritsalarning kommutatorini toping. 

Yechish. 

,

3

12

9

10

)

1

(

3

5

0

4

3

3

0

)

1

(

1

5

2

4

1

3

2

1

4

5

3

3

0

1

2

























































































AB

 

,

1

8

18

6

3

)

1

(

1

4

0

)

1

(

2

4

3

5

1

3

0

5

2

3

3

0

1

2

1

4

5

3























































































BA

 

.

4

4

9

4

1

8

18

6

3

12

9

10



















































BA

AB

 

Matritsalarni ko‘paytirish amali ushbu xossalarga bo‘ysunadi 

6

. 

.

1

o

 

A

  matritsa   

n

m



    o‘lchamli    va 

C

B

,

  matritsalar 

p

n



  o‘lchamli 

bo‘lsa,

AC

AB

C

B

A







)

(

 bo‘ladi; 

.

2

o

 

A

  matritsa 

n

m



    o‘lchamli    va 

C

B

,

matritsalar 

p

n



  o‘lchamli 

bo‘lsa,

AC

AB

C

B

A







)

(

 bo‘ladi;  

.

3

o

 

C

B

A

,

,

matritsalar  mos ravishda  

n

m



,

p

n



,

q

p



    o‘lchamli  bo‘lsa, 

C

AB

BC

A

)

(

)

(



 bo‘ladi;  

.

4

o

  (4) 

O

I

B

A

,

,

,

  moslashtirilgan  matritsalar  va 





,

 

skalyar  sonlar  bo‘lsa,        

u holda:  

1) 

);

)(

(

)

)(

(

AB

B

A









                         2) 

);

(

)

(

)

(

AB

B

A

B

A











 

                                                 

6

 

Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp. 92-112 

 

---

 

 

3) 

;

A

IA

AI





                                        4) 

;

O

OA

AO





 

5) 

.

)

(

T

T

T

A

B

AB



                                     

.

5

o



O

I

A

,

,

n

-  tartibli  kvadrat  matritsalar  va 

q

p

,   manfiy  bo‘lmagan  butun 

sonlar bo‘lsa, u holda: 

1) 

;

q

p

q

p

A

A

A





                                       2) 

;

)

(

)

(

pq

q

p

A

A



 

3) 

;

1

A

A



                                                4) 

.

0

I

A



 

Isboti. 

Xossalardan  ayrimlarini  ta’riflar  yordamida  isbotlaymiz  va 

ayrimlarining to‘g‘riligiga misollarni yechish orqali ishonch hosil qilamiz.  

o

2

-xossani qaraylik. 

)

(

ij

a

A



 matritsa 

n

m



  o‘lchamli  va 

)

(

),

(

ij

ij

c

C

b

B





 

matritsalar  

p

n



 o‘lchamli bo‘lsin. U holda 2 va  3-ta’riflarga ko‘ra istalgan 

j

i

,  

da birinchidan 

)

(

ij

ij

c

b

C

B







 yoki  

)

(

C

B

A































n

k

kj

ik

n

k

n

k

n

k

kj

ik

kj

ik

kj

ik

kj

kj

ik

c

a

b

a

c

a

b

a

c

b

a

1

1

1

1

)

(

)

(

 

va ikkinchidan  

BC

AC

c

a

b

a

n

k

kj

ik

n

k

kj

ik















1

1

 

bo‘ladi.   Oxirgi ikkita tenglikdan  

AC

AB

C

B

A







)

(

 bo‘lishi kelib chiqadi 

7

. 

o

6 -  xossani  qaraylik. 

)

(

ij

a

A



  va 

)

(

ij

b

B



 

bo‘lsin.  Bundan 

)

(

ij

T

a

A





  va 

)

(

ij

T

b

B





  bo‘ladi,  bu  yerda 

.

,

ji

ij

ji

ij

b

b

a

a









  U  holda  3-ta’rifga  ko‘ra  istalgan    

j

i

,  da birinchidan  

kj

n

k

ik

b

a

AB







1

 yoki 

T

AB

)

(







n

k

ki

jk

b

a

1

 

va ikkinchidan  

T

T

ik

n

k

ik

n

k

jk

ki

n

k

ki

jk

A

B

a

b

a

b

b

a























1

1

1

 

 bo‘ladi. Bundan  

T

T

T

A

B

AB



)

(

  bo‘lishi kelib chiqadi 

8

. 

o

3 -xossani to‘g‘riligiga misol yechish orqali ishonch hosil qilamiz.  

       

),

2

1

(



A

   

















4

0

1

3

B

,   















2

0

5

1

4

2

C

 bo‘lsin.  

                                                 

7

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265

 

8

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265

 

---

 

 

U holda 

,

8

0

20

1

12

11

2

0

5

1

4

2

4

0

1

3













































BC

 









,

17

12

29

8

0

20

1

12

11

2

1

)

(



















BC

A

 









,

7

3

4

0

1

3

2

1





















AB

 









.

17

12

29

2

0

5

1

4

2

7

3

)

(



















C

AB

 

Demak,

 

C

AB

BC

A

)

(

)

(



.