The Foundations: Logic and Proofs 20. Determine whether these are valid arguments a

Proof Strategy in Action
Mathematics is generally taught as if mathematical facts were carved in stone. Mathematics
texts (including the bulk of this book) formally present theorems and their proofs. Such presen-
tations do not convey the discovery process in mathematics. This process begins with exploring
concepts and examples, asking questions, formulating conjectures, and attempting to settle these
conjectures either by proof or by counterexample. These are the day-to-day activities of math-
ematicians. Believe it or not, the material taught in textbooks was originally developed in this
way.
People formulate conjectures on the basis of many types of possible evidence. The exam-
ination of special cases can lead to a conjecture, as can the identification of possible patterns.
Altering the hypotheses and conclusions of known theorems also can lead to plausible conjec-
tures. At other times, conjectures are made based on intuition or a belief that a result holds.
No matter how a conjecture was made, once it has been formulated, the goal is to prove or
disprove it. When mathematicians believe that a conjecture may be true, they try to find a proof.
If they cannot find a proof, they may look for a counterexample. When they cannot find a coun-
terexample, they may switch gears and once again try to prove the conjecture. Although many
conjectures are quickly settled, a few conjectures resist attack for hundreds of years and lead to

---

1.8 Proof Methods and Strategy