Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие. Москва: Наука

Ikki taraflama qonun. 1- teoremaning isbotidan ikki taraflama qonun kelib chiqadi.

Ikki taraflama qonun. funksiyalarning superpozisiyasiga ikki

taraflama bo‘lgan funksiya mos ravishda ikki taraflama funksiyalar superpozisiyasiga teng kuchlidir, ya’ni agar formula funksiyani realizasiya etsa, u holda formula funksiyani realizasiya etadi.

Bu formula formulaga ikki taraflama bo‘lgan formula deb aytiladi va u

deb belgilanadi. Demak, .

Ushbu qonundan o‘z-o‘ziga ikki taraflama bo‘lgan funksiyalarning superpozisiyasi yana o‘z-o‘ziga ikki taraflama funksiya bo‘lishligi kelib chiqadi, ya’ni agar o‘z-o‘ziga ikki taraflama funksiya bo‘lsa, u holda funksiya ham o‘z-o‘ziga ikki taraflama bo‘ladi. Haqiqatan ham,

.

Agar funksiya formula orqali ifodalangan va bu formula o‘z navbatida , , mantiq amallari orqali ifodalangan bo‘lsa, u holda bu funksiyaga (formulaga) ikki taraflama bo‘lgan funksiyani (formulani) topish uchun belgini belgiga, ni ga, 1ni 0ga va 0ni 1ga almashtirish kifoya. Bu prinsipni teng kuchli formulalarga nisbatan ishlatganda, yana teng kuchli formulalar hosil qilamiz, ya’ni bo‘lsa, u holda .

Ushbu prinsipga tayanib mantiq algebrasining bir formulasidan boshqa formulasini, bir teoremasidan boshqa teoremasini, bir ta’rifidan esa boshqa ta’rifini hosil qilish mumkin.

3- misol. Ushbu bobning 9- paragrafida keltirilgan (2), (3), (6), (8), (10), (12) teng kuchli formulalarga ushbu prinsipni qo‘llasak, (4), (5), (7), (9), (11), (13) teng kuchli formulalar kelib chiqadi. ■

Mantiq algebrasida elementlari ta argumentli o‘z-o‘ziga ikki taraflama funksiyalardan iborat bo‘lgan to‘plamni bilan belgilaymiz, uning elementlari soni ga tengdir.

Endi o‘z-o‘ziga ikki taraflama bo‘lmagan funksiyalar haqidagi lemmani ko‘rib chiqaylik.

Lemma. Agar bo‘lsa, u holda undan argumentlarining

o‘rniga va funksiyalarni qo‘yish usuli bilan bir argumentli o‘z-o‘ziga ikki taraflama bo‘lmagan funksiya, ya’ni konstantani hosil qilish mumkin.

Isboti. bo‘lgani uchun, shunday qiymatlar satri topiladiki, bo‘ladi.

() funksiyani kiritamiz va deb

belgilab olamiz. U holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz:

. ■