Samarqand davlat universiteti fizika fakulteti qattiq jisimlar fizikasi kafedrasi

Kristall panjara issiqlik sig’imining kvant nazaryasi

Debay temperaturasi ʘ_d dan past temperaturalarda kvant qonuniyatlari asosiy ahamiyatga ega. Har bir qattiq jism uchun yetarlicha yuqori temperaturalarda bajariladigan Pyulong-Pti qonuni (issiqlik sig’imi temperaturaga bog’liqmas deb tasdiqlovchi qonun) past temperaturalarda bajarilmasligi tajribalarda ma’lum bo’lganidan keyin issiqlik sig’imining kvant nazaryasini yaratishga to’g’ri keldi . Plankning mutloq qora jism nulanishi kvant nazaryasi asosida A.Eynshteyn(1907) birinchi bo’lib, o’zining issiqlik sig’imi nazaryasini taklif qildi. Ungcha N ta atomdan tashkil qilingan kristall bir xil ώ takroriylikli 3N ta tebranishga ega bo’la oladi. ώ takroriyli tebranish ehtimolligini Plank ifodasi tavsiflaydi:

Har bir tebranish energiyasi kvanti ħώ ga teng, o’rtacha energiyasi quyidagicha ko’rinish oladi

Butun kristall tebranishlari jami energiyasi

O’zgarmas hajm sharoitida kristallning issiqlik sig’imi

Yuqori T larda (ħώ<v=3kT, bir grammol uchun esa C_v =3kN =3R bo’lib, yani bu holda Dyulong-Pti qonuni adolatlidir.

Past T larda (ħώ>>kT bo’lganda)

bundagi T_E= ħώ_E/k – Eynshteynning tavsifiy temperaturasi.

Eynshteyn nazaryasi C_v- bo’yicha tajriba natijalarini sifatan tushuntirishga, yani C_v ning T pasayishi bilan kamayib borishini ko’rsatishga erishdi yuqoridagi ifoda temperature pasaygan sari exp(-T_E/T)² juda tez kamayadi. (T_E/T)² sekin ortadi, natijada F(ώ,T) bu holda tez kamayib boradi. Ammo, Eynshtynning hamma atomlar bir xil ώ takroriylik bilan tebranadi degan farazi hamma atomlar mustaqil tebrangandagina to’g’ri bo’ladi, vaholanki, haqiqatda kristall atomlar bir biri bilan bo’langan ravishda tebranadi yuqoridagi Eynshtyn chiqargan ifoda kursatgichli funksiya tarzida o’zharadi. Tajriba T pasayishi bilan C_v ning darajali qonun bo’yicha kamayishini tasdiqlaydi.

Debay(1912) taklif qilgan issiqlik sig’imi nazaryasi ko’pchilik kristallar uchun past temperaturalarda o’tkazilgan tajribalar natijalarini yaxshi tushuntira oladi.

Debay ham kristall N ta atomdan tashkillangan bolsa unga 3N ta tebranish bo’lishi kerak ammo harbir tebranish o’zining to’lqin vektori k ga bog’liq ώ takroriylikka ega, barcha ώ chastotalar soni 3N dan iborat erkinlik darajalari soniga teng, bunda takroriyliklar 0 to maksimal ώ takroriylikkacha bo’lgan 3N ta bo’lgan qiymatni oladi.

bundan

V₀=V/N – elementlar qattiq hajm.

Yuqorida ko’rinib turganimizdek har bir ώ tebranishning (ώ takroriylik fononlarining) energiyasi bo’lib, u Eynshteyn ifodasidan birinchi had bilan farqlanadi, uni tebranishning nolinchi energiyasi deyiladi, ifodani barcha kristall panjarasi tebranishlar to’la energiyasi hosil bo’ladi:

Birinchi had to’la nolinchi energiya, esa, 3s-3 ta optic tarmoq bo’yicha olinadi. Yuqoridagi ifodani yig’indilarini quyidagi mulohazalar asosida soddaroq yo’l bilan hisoblash mumkin. Akustik tarmoqlar bo’yicha yig’indini integral bilan almashtirsa bo’ladi.

Agar o’lchamsiz x ħώ/kT kattalik kiritsak,

bo’ladi, bunda

Optik tarmoqlarda ώ(q) takroriyliklar q ning funksiyasi sifatida kam o’zgaradi. Shuning uchun har bir optik tarmoqqa bir ώ(q_i) takroriylik mos keladi deb xisoblaymiz.

Agar bu hol o’lchamsiz kattalikni kiritsak

,

Endi kristallning tebranishlari to’la energiyasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Chegaraviy hollarda kristall panjaraning issiqlik sig’imi qanday bo’lishligini ko’raylik.

1. 
   Yuqori temperaturalarda (T>>ʘ_ak,, ʘ_j) sohada x<<1 bo’lganligi tufayli integralda e^x-1 shuning uchun
   

optik tarmoq bo’yicha yig’indisi

Shunday qilib,

E E₀+3NkT+(3s-3)NkT E₀+3sNkT

Bundan

va

bo’lishligi yani yuqori temoeraturalar sohasida Dyulong-Pti qonuni to’g’ri ekanligi kelib chiqadi. Bu holda barcha akustikva optik tarmoqlardagi tebranishlar uyg’otilgan bo’ladi.

b) Endi past temperaturalar (T<<ʘ_ak,,T<< ʘ_j) sohasini qaraylik. Bu holda optik tarmoqlarga tegishli hadlar (ʘ_j/T)^-ʘ/T tartibda bo’lib, 1 ga nisbatan ancha kichikdir, bu yig’indilarni yuqoridagi tenglamada tashab yuborish mumkin, chunki bu holda yuqori takroriylikli optik tebranishlarni uyg’otishda kT chamasidagi issiqlik harakati energiyasi yetarli emas. Binobarin, past temperaturalar sohasida optik tebranishlar dearli uyg’otilmagan bo’lganligi tufayli bu tarmoqlar issiqlik sig’imiga sezilarli xissa qo’sha olmaydi yuqoridagi ifodani integralda yuqori chegarani ∞ deb olinsa,

bo’ladi.

Demak, yuqoridagi ifoda quyidagi ko’rinishni oladi:

Bu ifoda orqali aniqlangan issiqlik sig’imi:

Agar N=N_A u holda N_A×k =R bo’ladi va yuqoridagi ifoda molyar issiqlik sig’imini ifodalaydi. Ushbu ifoda past temperaturalar sohasida Kristal panjarasining issiqlik sig’imi T³ ga mutonosib ravishda o’zgaradi deb tasdiqlaydi. Bu qonun tajribada 20-25K tarkibidagitemperaturalarda yaxshi bajariladi. Debayning nazaryasi elastik tutash muhit tarkibi qo’llanadigan past temperaturada uyg’ongan uzun to’lqinlar holida adolatli ekanligi tasdiqlanadi. Klassik soha kvant sohadan T=0 da emas, balki pastroq temperaturada ajraladi.