Доказательство.
Пусть Р (х) = с0хп + с1хn-1 + ... + cn-1 x+ сn . По условию a b (mod т), тогда
ak bk (mod m) при k = 0, 1, 2, …,n. Умножая обе части каждого из полученных n + 1 сравнений на cn-k, получим:
cn-kak сn-k bk (mod m), где k = 0, 1, 2, …,n.
Складывая последние сравнения, получим: Р (а) Р (b) (mod m). Если а (mod m) и ci di (mod m), 0 ≤ i ≤n, то
(mod m). Таким образом, в сравнении по модулю m отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю m.
Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающиеся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из
an c(mod m) и n k(mod m) не следует, что аk с (mod m).
Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, c его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков делимости. Для иллюстрации в качестве примера дадим вывод признака делимости на 3.
Пример.
Всякое натуральное число N можно представить в виде систематического числа: N = а010n + а1 10n-1 + ... + аn-110 + аn .
Рассмотрим многочлен f (х) = а0хn+ a1xn-1 + ... + аn-1х+аn. Так как
10 1 (mod 3), то по свойству 10 f (10) f(1) (mod 3) или
N = а010n + а1 10n-1 + ... + аn-110 + аn а1+ а2+…+ аn-1+ аn (mod 3), т. е. для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3.
§3. Системы вычетов
Полная система вычетов.
Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.
Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq+r заставим q пробегать все целые числа.
Соответственно m различным значением r имеем m классов чисел по модулю m.
Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q=0, равный остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Вычет ρ, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.
Очевидно, при r< имеем ρ=r; при r> имеем ρ=r-m; наконец, если m четное и r= , то за ρ можно принять любое из двух чисел и -m= - .
Выберем из каждого класса вычетов по модулю т по одному числу. Получим т целых чисел: х1 ,…, хm. Множество {х1 ,…, хт } называют полной системой вычетов по модулю m.
Так как каждый класс содержит бесчисленное множество вычетов, то можно составить бесчисленное множество различных полных систем вычетов по данному модулю т, каждая из которых содержит т вычетов.
Пример.
Составить несколько полных систем вычетов по модулю т = 5. Имеем классы: 0, 1, 2, 3, 4.
0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}
1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}
= {... -8, -3, 2, 7, 12,…}
= {... -7, -2, 3, 8, 13,…}
= {... -6, -1, 4, 9, 14,…}
Составим несколько полных систем вычетов, взяв по одному вычету из каждого класса:
0, 1, 2, 3, 4
5, 6, 2, 8, 9
-10, -9, -8, -7, -6
- 5, -4, -3, -2, -1
и т. д.
Наиболее употребительны:
Do'stlaringiz bilan baham: |