10-misol.
tgx
y
funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli differensiallarini
toping,
х-erkli o’zgaruvchi.
Yechish.
dx
x
dx
tgx
dx
y
dy
2
cos
1
'
,
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
y
y
d
3
2
3
2
2
2
2
cos
sin
2
cos
cos
2
cos
''
.
11-misol.
t
e
x
x
y
,
sin
murakkab funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli
differensiallarini toping.
Yechish.
xdx
dx
y
dy
cos
'
,
.
cos
sin
'
'
'
)
'
(
2
2
2
2
2
x
xd
xdx
x
d
y
dx
y
dx
y
d
y
d
7. Ikkinchi hosilaning mexanik ma„nosi.
To’g’ri chiziq bo’ylab harakat qiluvchi jismning o’tgan
s
yo’li bilan
t
vaqt
orasidagi bog’lanish
)
(t
f
y
formula bilan ifodalansin.
Hosilaning mexanik ma‘nosiga binoan jismning oniy tezligi yo’ldan vaqt
bo’yicha olingan hosilaga teng, ya‘ni
dt
ds
t
s
t
v
)
(
'
)
(
.
Biror
t
momentda jismning tezligi
v
ga teng bo’lsin. Agar harakat tekis
bo’lmasa, u holda
t
paytdan keyin o’tgan
t
vaqt oralig’ida tezlik
v
ga
o’zgaradi.
t
v
a
rt
o
'
nisbat
t
vaqtdagi o‟rtacha tezlanish deyiladi.
O’rtacha tezlanishning vaqt orttirmasi
t
nolga intilgandagi limiti berilgan
momentdagi yoki oniy tezlanish deb ataladi:
dt
dv
t
v
im
a
t
0
Demak, oniy tezlanish tezlikdan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng. Ammo
dt
ds
v
bo’lgani uchun
2
2
dt
s
d
dt
ds
dt
d
a
, ya‘ni
to‟g‟ri chiziqli harakat
tezlanishi yo‟ldan vaqt bo‟yicha olingan ikkinchi hosilaga teng.
)
(t
f
s
ga
asosan:
)
(
'
' t
f
a
.
Bu ikkinchi tartibli hosilaning
mexanik ma„nosidir.
8. Urinma va normal tenglamalari.
Tenglamasi
)
(x
f
y
bo’lgan egri chiziqni qaraymiz, bunda
)
(x
f
differensiallanuvchi funksiya. Bu egri chiziqda
0
0
0
, у
x
M
nuqtani olamiz va bu
nuqtada egri chiziqqa urinma o’tkazamiz. O’tkazilgan urinma 0у o’qqa parallel
emas deb faraz qilib, uning tenglamasini yozamiz. Berilgan
0
M
nuqtadan o’tuvchi
to’g’ri chiziq tenglamasiga ko’ra urinmaning tenglamasi
0
0
х
х
k
y
y
ko’rinishga ega bo’ladi. Hosilaning geometrik ma‘nosiga binoan
)
(
'
0
x
f
k
bo’lgani uchun urinma tenglamasi
0
0
0
)
(
'
х
х
x
f
y
y
ko’rinishni oladi.
7-ta„rif. Urinish nuqtasidan o’tadigan va urinmaga perpendikulyar to’g’ri
chiziq egri chiziqqa berilgan nuqtada normal deb ataladi(106-chizma).
Ta‘rifdan qaralayotgan nuqtada egri chiziq urinmaga ega bo’lmasa u
normalga ham ega bo’lmasligi kelib chiqadi.
)
(
' x
f
hosila mavjud bo’lmaganda
egri chiziqqa uning
)
(
;
x
f
x
M
nuqtasida 0у o’qqa parallel bo’lmagan urinma
o’tkazib bo’lmaydi.
106-chizma.
Endi normalni tenglamasini yozamiz.
Ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartiga ko’ra normalning burchak
koeffisientini
n
k
urinmaning burchak koeffisienti
)
(
'
0
x
f
k
bilan
)
(
'
1
1
0
x
f
k
k
n
tenglik orqali bog’langan.
Demak,
)
(x
f
y
egri chiziqqa
0
0
0
, у
x
M
nuqtasidagi normal tenglamasi
0
0
0
)
(
'
1
х
х
x
f
y
y
ko’rinishga ega.
12-misol.
4
x
y
egri chiziqqa uning
1
;
1
0
M
nuqtasida o’tkazilgan urinma
va normalning tenglamalari yozilsin.
Yechish.
3
4
'
x
y
bo’lgani uchun urinmaning burchak koeffisienti
4
1
4
|'
3
1
x
y
ga teng. Demak, urinma tenglamasi:
1
4
1
х
y
yoki
3
4
x
y
.
Normal tenglamasi:
1
4
1
1
х
y
yoki
4
5
4
1
x
y
.
Adabiyotlar
1.
Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент
«Ўқитувчи», 1986.
2. А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001.
3. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва,
«Наука”, 1986.
4. В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. Москва,
«Наука”, 2000.
5. Н.С.Пискунов. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-том, Тошкент,
«Ўқитувчи», 1972.