Преобразования плоскости §

Величина не зависит от выбора базиса.

Доказательство: Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то, в силу теоремы 5.3.3. и невырожденности матрицы перехода , имеем Следствие доказано.

Задача 5.3.2.

В ортонормированной системе координат найти матрицу оператора, ортогонально проектирующего радиус-векторы точек координатной плоскости на прямую .

Р ешение:

Пусть точка-прообраз M имеет радиус-вектор , а точка - образ точки M, соответственно ее радиус-вектор . Из рис. 5.3.1. следует, что есть точка пересечения прямой и перпендикуляра к ней, проходящего через M.

y O x M Рисунок 5.3.1.

Поскольку нормальный вектор прямой является направляющим вектором этого перпендикуляра, то уравнение последнего будет иметь вид . Откуда следует, что координаты радиус-вектора точки будут удовлетворять системе уравнений или . Используя правила операций с матрицами, получаем окончательно, что , то есть .