Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Эллиптические кривые
Задачи и программа курса. Место теории спариваний на эллиптических кривых и криптографии, основанной на спариваниях, в ряду других математических дисциплин. Источники её развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Уравнение Вейерштрасса эллиптической кривой. Морфизмы и изоморфизмы эллиптических кривых. Дискриминант и j-инвариант, их основные свойства. Сложение точек эллиптической кривой. Группа точек эллиптической кривой. Изогении и гомоморфизмы эллиптических кривых. Эллиптические кривые над конечными полями. Эндоморфизм Фробениуса. Число точек эллиптической кривой над конечным полем. Теорема Хассе.
Тема 2. Точки кручения эллиптической кривой
Точки кручения эллиптической кривой. Структура подгруппы точек n-кручения. След эндоморфизма Фробениуса. Обыкновенные и суперсингулярные кривые. Многочлены деления, их свойства. Структура группы точек эллиптической кривой.
Тема 3. Теория дивизоров на эллиптических кривых
Определение дивизоров. Степень дивизора. Носитель дивизора. Сложение дивизоров. Полиномиальные функции на кривой. Норма полиномиальной функции, свойств нормы. Рациональные функции на кривой. Нули и полюсы рациональной функции. Униформизующий параметр кривой в точке. Порядок функции в точке. Вычисление порядка. Дивизоры функций на кривой. Степень дивизора функции. Линейная эквивалентность дивизоров. Якобиан. Изоморфизм якобиана и группы точек эллиптической кривой.
Тема 4. Спаривания Вейля и Тэйта на эллиптических кривых
Общее определение спаривания Вейля, его простейшие свойства. Понятие спаривания Тэйта-Лихтенбаума, его простейшие свойства. Структура криптосистем, основанных на спаривании. Шифрующая и дешифрующая функции. Атаки на криптосистемы, основанные на спариваниях. Обоснование стойкости. Явное определение спаривания Вейля. Явное определение спаривания Тэйта-Лихтенбаума. Вывод свойств.