Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов и тем курса
Понятие дифференциального уравнения
Геометрическая интерпретация: расширенное фазовое пространство, поле направлений, интегральные кривые, изоклины. Элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем и уравнений произвольного порядка.
Теорема о продолжении решений. Непрерывная зависимость решений от начальных значений
Общая теория дифференциальных систем и уравнений.
Определитель Вронского, формула Лиувилля-Остроградского. Метод вариации постоянных. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Уравнения и системы со специальной правой частью. Экспонента матрицы
Фазовое пространство
Векторное поле, фазовые кривые, фазовый портрет
Нули решений
Теоремы сравнения (Штурма). Краевые задачи, функция Грина
Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.
Критерий устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Функция Ляпунова
Фазовая плоскость.
Классификация линейных особых точек на плоскости: узел, седло, фокус, центр. Предельный цикл.
Дифференцируемость решения по параметру и начальным данным. Уравнения в вариациях
Непрерывная зависимость решений от параметра и начальных условий. Дифференциальная зависимость решения от параметра и начальных условий. Уравнения в вариациях
Первые интегралы автономной системы.
Существование полной системы первых интегралов0
Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
Характеристики. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Тематика практических занятий

1. 
   Геометрическая интерпретация: расширенное фазовое пространство, поле направлений, интегральные кривые, изоклины.
   
2. 
   Элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений.
   
3. 
   Формула Лиувилля-Остроградского. Метод вариации постоянных.
   
4. 
   Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.
   
5. 
   Уравнения и системы со специальной правой частью..
   
6. 
   Нули решений, теоремы сравнения (Штурма).
   
7. 
   Краевые задачи, функция Грина.
   
8. 
   Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.
   
9. 
   Классификация линейных особых точек на плоскости: узел, седло, фокус, центр.
   
10. 
    Первые интегралы автономной системы.
    
11. 
    Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
    

Трудоёмкость (з.е. / часы)