Оддий дифференциал тенгламаларни ечишнинг эйлер ва рунге-кутта усуллари

f"(x) = 0 va f"(x) mavjud bo’lmagan nuqtalarga 2-tur kritik nuqtalar deyiladi. Egilish nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti. X₀ nuqta y = f (X) funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va f"(x) ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa, x ₀ abssissali nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.

Shunday qilib, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, egilish nuqtalarini topish uchun, oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin yetarli shartlardan foydalanib, qavariqlik, botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi.

2. 
   Diferensial tenglamalarning turli sinflari
   

Ma’lumki, kupincha amaliy masalalarni yechishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshka konuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshka tenglamalardan iborat buladi. Oddiy differensial tenglamalar esa juda kup muxandislik masalalarini yechishda uchraydi. Demak, differensial tenglamalarning ma’lum shartlarni kanoatlantiruvchi yechimlarini topish katta axamiyatga ega.


Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bulinadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy xosilali differensial tenglamalar.

Xususiy xosilali differensial tenlamalarga keyinrok batafsil tuxtalamiz.

Oddiy differensial tenglamalarda fakat bir uzgaruvchiga boglik funksiya va uning xosilalari katnashadi, ya’ni

(1)

(1) tenglamada katnashuvchi xosilalarning eng yukori tartibi differensial tenglamalarning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning xosilalariga nisbatan chizikli bulsa, unga chizikli differensial tenglama deyiladi.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi va n ta uzgarmaslarga boglik ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (1) tenglamaning umumiy yechimi kurinishdagi funksiyalardan iborat . Agar uzgarmaslarga muayyan kiymatlar berilsa, umumiy yechimdan xususiy yechim xosil kilinadi. Xususiy yechimni topish uchun uzgarmaslarning mos kiymatlarini aniklash lozim. Buning uchun esa yechimni kanoatlantiruvchi kushimcha shartlarga ega bulishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bulsa, yagona xususiy yechimni topish uchun xuddi shuncha kushimcha shartlar kerak. Xususan, 1-tartibli tenglama ( ) ning umumiy yechimi dagi s uzgarmasni topish uchun 1 ta kushimcha shartning berilishi kifoya.

kushimcha shartlar berilishiga kura differensial tenglamalar uchun 2 xil masala kuyiladi:

1. 
   Koshi masalasi
   
2. 
   Chegaraviy masala.
   

Agar kushimcha shartlar bitta nuktada berilsa, differensial tenglamani yechish uchun kuyilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi kushimcha shartlar boshlangich shartlar, nukta esa boshlangich nukta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni yechishning chizma, analitik, takribiy va sonli yechish usullari mavjud.

Analitik usullarda differensial tenglamaning yechimlari anik formulalar orkali aniklanadi.

Takribiy usullarda differensial tenglama va kushimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonrok masalaga keltiriladi.

Sonli usullarda esa yechim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali kurinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan yechim xam takribiy buladi.

Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning yechimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bulganligi uchun, amalda kupincha ularni sonli usullar yordamida takribiy xisoblanadi.

kuyida shunday usullardan Eyler va Runge-Kutta usullarini kurib chikamiz.
Eyler usuli

B izga kuyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni

(2)

oralikdagi boshlangich shartni kanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bulsin.

Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial tenglamaning yechimi kidiriladigan kesmani tugun nuktalar bilan bulaklarga bulamiz. Tugun nuktalarning koordinatalari ( ) formula orkali aniklanadi. Xar bir tugunda echimning kiymatlarini chekli ayirmalar yordamida takribiy kiymatlar bilan almashtiriladi.

Ma’lumki, funksiyaning nukta atrofidagi Teylor katoriga yoyilmasini kuyidagicha yozish mumkin:



Ushbu cheksiz katorning boshidagi ikkita xad bilan chegaralanib, birinchi tartibli xosila katnashgan xadni aniklash natijasida kuyidagi chekli ayirmali formulani xosil kilamiz:

(3)

Ushbu almashtirishning geometrik ma’nosi kuyidagicha:

Xosilaning geometrik ma’nosiga kura

BD

( 3) dan



Demak, chekli ayirmalar formulasi xosilaning asl kiymatidan ga fark kiladi, ya’ni BE kancha kichik bulsa, chekli ayirma xosilaga shuncha yakin buladi. Rasmdan da ekanini kurish mumkin. (2) va (3) dan ekanini xisobga olib, kuyidagini xosil kilamiz:

(4)

Xosil kilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bulib, uning yordamida tugun nuktalarga mos bulgan differensial tenglamaning xususiy yechimlarini topish mumkin. Yukoridagi formuladan kurinib turibdiki, yechimni topish uchun yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir kadamli usullar jumlasiga kiradi.

Eyler usulining geometrik ma’nosi kuyidagicha:

A nukta nuktaga mos keluvchi yechim bulsin. Bu nuktadan integral chizikka utkazilgan urinma nuktada boshka integral chizigida yechimni aniklaydi.

Urinmaning ogmaligi xosila bilan aniklanadi. Demak, Eyler usulidagi yul kuyilgan asosiy xatolik yechimni bir integral chizigidan boshkasiga utkazib yuborishi bilan xarakterlanadi.

Runge-Kutta usuli.

Bir kadamli oshkor usullarning boshka bir necha xillari xam majud bulib, ularning ichida amalda eng kup ishdlatiladigani Runge-Kutta usuli xisoblanadi. Usul shartiga kura xar bir yangi tugun nuktadagi yechimni topish uchun funksiyani 4 marta xar xil argumentlar uchun xisoblash kerak. Bu jixatdan Runge-Kutta usuli xisoblash uchun nisbatan kup vakt talab kiladi. Lekin Eyler usulidan kura anikligi yukori bulganligi uchun, undan amalda keng foydalaniladi.

Usulning ishchi formulasi kuyidagicha yoziladi:

bu yerda ;


Demak, formulalardan kurinib turibdiki, Eyler usuli birinchi tartibli Runge-Kutta usuliga mos keladi.