Обыкновенные дифференциалъные уравнения

Задачи для самостоятельного решения.
Решить следующие ОДУ:
1) 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7)
8) В процессе химической реакции жидкие химические вещества и объмом 10 и 20 л соответственно образуют новое жидкое химическое вещество .Считая, что температура в процессе реакции не меняется, а также что из каждых двух объемов вещества и одного объема вещества образуется три объма вещества определить колчество вещества в произвольный момент времени если за 20 мин его образуется 6 л.
Задачи к разд. 20.4
1.
Решение: Это задача Коши для однородного ДУI порядка. Введем замену , , , которая сводит данное уравнение к ДУ с разделяющимися переменными:


общее решение. Используя начальное условие, имеем
, решение задачи Коши.
2..
Решение: Это однородное ДУ 1 порядка, так как при подстановке вместо оно не меняется. Находим и делаем замену


общее решение.


Задачи для самостоятелъного решения
1. 2. 3.
4. 5.
6. 7.
8.

Задачи к разд. 20.5
Решить следующие ОДУ I порядка:

1. 
   
   

Решение: Имеем линейное ОДУ 1-го порядка, которое решаем заменой
. При подстановке в уравнение получим
.
Ищем как частное решение ОДУ:
1) тогда для получаем ОДУ 2) . Оба уравнения с разделяющимися переменными. Решаем первое.
1)
Подставляем во второе уравнение:
2) Окончательно получаем общее решение:
2.
Решение: Это линейное ОДУ I порядка. На примере его решения рассмотрим еще один метод решения таких уравнений – метод вариации произвольной . Сначала решим соответствующее уравнение с нулевой правой частью (линейное однородное уравнение):

.
Далее, полагая ,найдем производную
Подставив в исходное уравнение и , получим

общее решение.