Number Theory: Structures, Examples, and Problems

I Fundamentals, 2. Powers of Integers
to 3, we conclude that every other integer is divisible by the same prime, contrary
to assumption. Likewise, if
u
is divisible by 9, then every other integer is divisible
by 3. Thus all of the numbers equal 1 or 3. Moreover, if one number is 3, the
others are all congruent modulo 3, so are all 3 (contrary to assumption) or 1. This
completes the proof.
Problem 2.3.3.
Let M be a set of
1985
distinct positive integers, none of which
has a prime divisor greater than
26
. Prove that M contains at least one subset of
four distinct elements whose product is the fourth power of an integer.
(26th International Mathematical Olympiad)