Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-natija. Muxtor sistemasining yechimi vaqtning chekli qiymatida maxsus nuqtaga erisha olmaydi.

Isbot. Aytaylik, – maxsus nuqta, ya’ni yechim bo‘lsin. Agar va yechimlarning trayektoriyalari ustma-ust tushmasa, u holda ular umumiy

nuqtaga ega bo‘lmaydi. Shuning uchun larda o‘rinli. yechim faqat yoki bo‘lganda maxsus nuqtaga yaqinlashishi mumkin.■

3-teorema. Agar yechim uchun , munosabat bajarilsa, u holda bu yechim eng kichik musbat davrga ega bo‘lgan davriy vektor-funksiya bo‘ladi, uning trayektoriyasi esa o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq chiziqdan iborat bo‘ladi.

Isbot. Ushbu funksiya 1-teoremaga ko‘ra, yechim bo‘ladi va munosabatlar bajariladi. Yagonalik teoremasiga asosan ya’ni davrga ega bo‘lgan funksiyadan iborat bo‘ladi. Boshqa davrlari ham bo‘lishi mumkin. Teorema shartiga ko‘ra, bo‘lgani uchun topilib, o‘rinli bo‘ladi, ya’ni . vektor-funksiyaning uzluksizligidan uchun shunday soni topilib, , ya’ni tengsizlik bajarilganda bajariladi. Bu esa munosabat larda bajarilishini bildiradi. Ammo vaqtning davrga teng qiymatida yechim, ya’ni nuqta trayektoriyaning barcha nuqtalarini bosib o‘tishi lozim. Shuning uchun ixtiyoriy musbat davr uzunligi dan oshmaydi va ularning quyi chegarasi . Agar soni davr bo‘lmasa, u holda davrlar ketma-ketligi topilib Bunda da limitga o‘tib tenglikni olamiz, ya’ni davr bo‘ladi. trayektoriya yopiq chiziqdan iborat bo‘ladi. Chunki Agar u o‘zini o‘zi kessa, u holda , o‘rinli. Yuqorida isbotlangan mulohazalarga asosan yechim uchun soni davr bo‘ladi. Bu esa p ning eng kichik musbat davr ekanligiga zid keladi.■