Mavzu: Matematik induksiya metodi va uning bazi bir tadbiqlari Kirish I bob Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi. Induksiya turlari


I Bob Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi.Induksiya turlari



Download 237,16 Kb.
bet4/14
Sana31.12.2021
Hajmi237,16 Kb.
#224521
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Bog'liq
2 5258287271756434594

I Bob Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi.Induksiya turlari

1.1 Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi.

Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman xatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Bu metod orqali ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblash mumkin.

Demak turli hil ayniyatlarni isbotlashda matematik induksiya metodini qo’llab isbotlangan misollar ko’rib chiqaylik.


  1. misol.

Matematik induksiya metodidan foydalanib ushbu ayniyatni isbotlash kerak bo’lsin.

1+2+3+…+n=

Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.


  1. n=1 uchun 1= demak A(1) to’g’ri

  2. n=k uchun 1+2+3+…+k= deb faraz qilib,

n=k+1uchun 1+2+3+…+k+(k+1)= ni isbot qilamiz.

1+2+3+…+k+(k+1)=

Demak, 1+2+3+…+n= dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to’g’ri deb hulosa chiqaramiz.

2-misol. (Qiziqarli masala). Bir boy dehqonning otini sotib olmoqchi bo’ldi, lekin otning 1000 so’mlik bohosi unga ko’p ko’rindi. Shunda dehqon boyga otning taqqalaridagi mixlarni arzon bahoga sotib olishni, otni esa sovg’a sifatida olib ketishni taklif qildi va mixlarning birinchisiga 1 tiyin, ikkinchisiga 2 tiyin, uchinchisiga 4 tiyin, to’rtinchisiga 8 tiyin va hakazo, har bir keying mixga avvalgisidan ikki baravar ko’p to’lashni so’radi. Boy bu shartga rozi bo’ldi. Har bir taqada 6 ta mix bor. Boy otni necha so’mga sotib olgan?

Yechilishi.

Boy sotib olishi kerak bo’lgan mixlar 24 ta. Mixlarga to’langan pullarni yo-zaylik:



Bu sonlarni quyidagicha ham yozish mumkin:



Bu qatorni ko’zdan kechirsak k mixga tiyin to’laganligini sezamiz. Barcha mixga to’lgan pul:



Ushbu yig’indini hisoblaylik:



Bugeometrikprogressiyantahadiningyig’ondisinitopishformulasigaaso-santopsakhambo’ladi,



Hosil bo’lgan sonlarni 2 ning darajalari bo’yicha yozaylik:



Bulardan ushbu gipotezani aytish mumkin:



(1)

1. gipoteza to’g’ri.

2. o’rinli bo’lsin deb, da bo’lishini isbotlaylik.

Haqiqtdan ham,



tenglik hosil bo’ladi.

Demak (1) o’rinli. Buni ot savdosiga qo’llasak, tiyin yoki 167772 so’m 15 tiyin yani ot bahosidan 150 martadan ham ko’p pul to’lagan.

1.Isbot kilinayotgan tasdik n=1 uchun tekshiriladi. To’g’riligiga ishonch hosil qilingandan so’ng 2 chi etapga o’tiladi.

2.Shu tasdiqni n=k uchun to’g’ri deb olib, 3 chi etapga o’tiladi.

3.Tasdiqn=k+1 uchun to’g’ri ekanligi isbot qilinadi.

Bu metodning qo’llanishiga doir misol qaraymiz.

3-misol.Birinchi n ta toq natural sonlarning yig’indisini toping.

Yechilishi. Izlanayotgan yig’indi bo’lsin:

ga teng ketma-ket 1,2,3,4,… qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini topaylik:

Hosil bo’lgan sonlarni kuzatib biror qonuniyat topishga harakat qilaylik. Ularni quyidagicha yozish mumkinligini ko’rish mumkin.



Hosil bo’lgan sonlarga qarab ushbu gipotezani aytish mumkin: birinchi n ta toq natural sonlar yig’indisa uchun



bu gipotezani isbotlaylik:

1. da gipoteza to’gri.

2. uchun o’rinli bo’lsin deb da bo’lishini ko’rsatamiz.



Demak, gipoteza o’rinli.

4-misol.

Tennis sharlari piramida shaklida taxlangan. Ustki qavatda 1 ta, pastki ikkinchi qavatda 4 ta undan pastda 9 ta va hakoxo, eng pastdagi n- qavatda shar bor. Piramidani buzmay nechta shar borligini toping.

Yechilishi.



(2)

Yuqoridagi masalalardagidek induktiv yo’l bilan borib ushu gipotezani tuzish mumkin.



(3)

  1. gipoteza o’rinli.

  2. gipoteza o’rinli bo’lsin, ya’ni



bo’lganda

Bo’lishini isbotlaymiz.

(2) da bo’lsin deb induktiv farazni e’tiborga olsak:

Demak, (3) uchun to’g’ri. (2) yig’indini eramizgacha yashagan Arhimed hisoblagan.

5-misol.

yig‘indini hisoblаng.

Yechilishi. Аvvаl bittа, ikkitа, uchtа, to‘rttа qo‘shiluvchilаr uchun yig‘indini hisoblаymiz (induksiya – lotinchа bo‘lib, “hosil qilish”, “yarа-tish” ni аnglаtаdi).









Hаr bir yig‘indini surаti qo‘shiluvchilаr sonigа teng bo‘lib, mаxrаji undаn bittа kаttа. Bu hаr qаndаy n uchun tаxmin qilish imkonini berаdi. Bu tаxminning to‘g‘riligini tekshirishgа mаtemаtik induksiya usulini qo‘llаymiz.



  1. n=1 bo`lganda tаxmin to‘g‘ri, yani,

  2. n=k dа deb tаxmin qilib, n=k+1 uchun bu tаxminning to‘g‘riligini tekshiramiz.

Shundаy qilib, n=k uchun to‘g‘riligini fаrаz qilgаn holdа, uni n=k+1 hol uchun isbot qildik, yani formulа bаrchа nаturаl n uchun to‘g‘ri.

6-misol. Quyidagi tenglikni isbotlang :

, buyerda

Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz



2) Qaysidirnaturalk –uchun n=k da tenglik o`rinli deb ,n=k+1 uchun



bo`lishini isbotlaymiz

Haqiqatan

Demak,А(k)A(k+1)o`rinli.Matematik induksiya prinsipiga

asosan , buyerda ixtiyoriy n da o`rinli.



Download 237,16 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish