Matritsalar algebrasi. Tayanch ibora va tushunchalar

Tarmoq-lar	1	2	3	4
5
1

2

3

4

5

Bu jadvalda lar bilan, -tarmoqning - tarmoqqa yetkazib beradigan (tahminlaydigan) mahsuloti miqdori belgilangan, chunonchi, , , ..., lar 2-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga; , , ..., lar esa 3-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga yetkazib beradigan mahsulotlari miqdorini bildiradi. , lar mos ravishda 2,3-tarmoqlarning o’z ehtiyojlariga sarfini ifodalaydi.

Yuqoridagiga o’xshash ishlab chiqarish mezoni (normasi) axborotlari sistemasiga sonli misol qaraylik. Korxona 3 turdagi xom ashyo ishlatib 4 xildagi mahsulot ishlab chiqaradigan bo’lsin, bunda xom ashyo sarfi normasi sistemasi 2-jadval bilan berilgan bo’lsin.
2-jadval.

Xom ashyolar	Mahsulotlar
	1	2	3	4
1	2	3	2	0
2	4	0	3	5
3	3	5	2	4

2-jadvalda masalan, 1-turdagi xom ashyo sarfi normasi mos ravishda 1,2,3,4-xildagi mahsulotlar ishlab chiqarish uchun 2,3,2,0 bo’ladi.

1 va 2 jadvallar, matematikada o’rganiladigan matritsalar tushunchasining misollari bo’laoladi. Matritsalar iqtisodiy izlanishlarda keng qo’llanilmoqda, xususan, ulardan foydalanish ishlab chiqarishni rejalashtirishni osonlashtirib, mehnat sarfini kamaytiradi, hamda rejaning har xil variantlarini tuzishni ixchamlashtiradi. Bundan tashqari har xil iqtisodiy ko’rsatkichlar orasidagi bog’liqlikni tekshirishni osonlashtiradi. Bu holatlar matritsalarni umumiy holda qarashga olib keladi.

1-tahrif. ta satrli va ta ustunli to’g’ri burchakli ta elementdan tuzilgan jadval


o’lchamli matritsa deyiladi. matritsani qisqacha bilan ham belgilash mumkin. Matritsalarda satrlar soni ustunlar soniga teng bo’lsa, bunday matritsalar kvadrat matritsa deb ataladi.

Har bir tartibli kvadrat matritsa uchun uning elementlaridan tuzilgan determinantni hisoblash mumkin, bu determinantga matritsaning determinanti deyiladi va yoki bilan belgilanadi. bo’lsa, matritsaga maxsus matritsa, bo’lsa, maxsusmas matritsa deyiladi. Kvadrat matritsaning elementlar joylashgan diagonali bosh diagonal, elementlari joylashgan diagonali yordamchi diagonal deyiladi. Bosh diagonaldagi elementlar 0dan farqli boshqa barcha elementlari 0 ga teng kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi.Masalan,

matritsa diagonal matritsadir. Diagonaldagi barcha elementlari 1 ga teng diagonal matritsa birlik matritsa deyiladi va



bilan belgilanadi.

Faqat bitta satrdan iborat matritsaga satr matritsa deyiladi. Faqat bitta ustunga ega

matritsaga ustun matritsa deb ataladi.

Barcha elementlari 0 lardan iborat bo’lgan matritsaga no’l matritsa deyiladi va bilan belgilanadi.

A matritsaga quyidagi matritsani mos qo’yish mumkin:

Bu matritsaning har bir satri matritsaning unga mos ustunidan iborat. matritsani matritsaga nisbatan transponirlangan deyiladi.

va matritsalarning mos elementlari teng bo’lsa, bunday matritsalar teng deyiladi.

2. Matritsalar ustida amallar. Matritsalarni qo’shish, songa ko’paytirish va bir-biriga ko’paytirish mumkin.

Bir xil o’lchamli va matritsalarning yig’indisi deb, elementlari ravishda aniqlanadigan uchinchi matritsaga aytiladi. Ravshanki, matritsaning o’lchami oldingi matritsalarning o’lchami bilan bir xil bo’ladi. Masalan:

matritsalar yig’indisi


bo’ladi. Matritsalarni qo’shish amali quyidagi o’rin almashtirish va guruhlash xossalariga ega, yahni


Matritsalarni qo’shishda biror matritsaga matritsani qo’shish odatdagi sonlarni qo’shishdagi no’l soni rolini o’ynaydi, yahni


masalan,

.

matritsani songa ko’paytirish deb uning hamma elementlarini shu songa ko’paytirishga aytiladi, yahni


masalan,

matritsani ga ko’paytirsak,

bo’ladi.

o’lchamli matritsaning o’lchamli matritsaga, ko’paytmasi deb o’lchamli shunday matritsaga aytiladiki uning elementi matritsa -satri elementlarini matritsa -ustunining mos elementlariga ko’paytmalari yig’indisiga teng, yahni:

Matritsalar ko’paytmasi bilan belgilanadi. Demak, matritsalarni ko’paytirish uchun birinchi ko’paytuvchining ustunlari soni, 2- ko’paytuvchining satrlari soniga teng bo’lishi talab qilinadi. SHu sababli, umuman .

1-misol. va matritsalar berilgan. va matritsalarni ko’paytiring.

Echish. Birinchi matritsaning ustunlar soni, ikkinchi matritsaning satrlar soniga teng, shuning uchun bu matritsalarni ko’paytirish mumkin:


Matritsalarni ko’paytirish ushbu



guruhlash hamda

taqsimot xossasiga ega. Masalan,

bo’lsin. Bu holda

Endi ko’paytirishni bajaramiz:

SHunday qilib


xossa o’rinli bo’ladi. Endi taqsimot xossasini qaraymiz:


bo’lsin. Oldin taqsimot xossasining chap tomonini

hisoblaymiz:
O’ng tomoni


bo’ladi.

Shunday qilib

tenglik o’rinli bo’ladi.

Istalgan kvadrat matritsa ni mos birlik matritsaga ko’paytirganda

tenglik o’rinli bo’ladi


3.Matritsaning rangi va uni hisoblash. o’lchovli matritsada satr va ta ustunini ajratamiz, bunda, va sonlardan kichik yoki ularning kichigiga teng bo’lishi mumkin. Ajratilgan satr va ustunlarning kesishuvida hosil bo’lgan -tartibli determinantga matritsaning -tartibli minori deyiladi.

Tahrif. matritsaning 0 dan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga matritsaning rangi deyiladi. matritsaning rangi yoki bilan belgilanadi.

Matritsa rangini bevosita hisoblashda ko’p sondagi determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Quyidagi amallardan foydalanib matritsa rangini hisoblash qulayroq. Matritsada: 1)faqat 0 lardan iborat satri (ustuni)ni o’chirishdan; 2) ikkita satr (ustun)ning o’rinlarini almashtirishdan; 3) biror satr (ustun)ning elementlarini biror songa ko’paytirib, boshqa satr (ustun) mos elementlariga qo’shish; 4) matritsani transponirlashdan, uning rangi o’zgarmaydi. Bu amallarga odatda elementar almashtirishlar deyiladi.

1-misol.
matritsaning rangini hisoblang.

Echish. matritsaning rangini hisoblash uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz. Birinchi satr elementlarini ikkinchi satr elementlariga, birinchi satr elementlarini (–2)ga ko’paytirib, uchinchi satr elementlariga, hamda uchinchi satr elementlarini to’rtinchi satr elemntlariga qo’shib quyidagi matritsani hosil qilamiz:


Keyingi matritsada 2-satrini (–1) ga ko’paytirib to’rtinchi satriga qo’shsak

matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsada

bo’lib, to’rtinchi tartibli minorlar 0 ga teng. SHunday qilib, berilgan matritsaning rangi 3 ga teng.
4. Teskari matritsa va uni topish. kvadrat matritsa uchun birlik matritsa bo’lsa, kvadrat matritsa matritsaga teskari matritsa deyiladi. Odatda, matritsaga teskari matritsa bilan belgilanadi.

Teorema: kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo’lishi uchun matritsaning determinanti 0 dan farqli bo’lishi zarur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq dasturli kurslardan topish mumkin, masalan, V.E.SHneyder va boshqalar. «Oliy matematika qisqa kursi» 1tom. T. O’qituvchi. 1985. 407 b.)

kvadrat matritsa uchun bo’lsa , unga teskari bo’lgan yagona matritsa mavjud.

matritsaga teskari matritsa

formula bilan topiladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to’ldiruvchilari va .
Teskari matritsani topishga misol qaraymiz.

2-misol. Ushbu

matritsaga teskari matritsani toping.

Echish. Oldin matritsaning determinantini hisoblaymiz:

Yuqoridagi teoremaga asosan teskari matritsa mavjud, chunki

yahni, berilgan matritsa maxsusmas matritsadir. ni topish uchun matritsa hamma elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:

Teskari matritsani topish



formulasiga asosan

bo’ladi. teskari matritsaning to’g’ri topilganligini

tenglikning bajarilishi bilan tekshirib ko’rish mumkin, haqiqatan ham,


yahni, birlik matritsa hosil bo’ladi, bu teskari matritsaning to’g’ri topilganligini isbotlaydi.