Mashg‘ulot texnologiyasi

1.1.6- masala. Bizga ondagec fazo berilgan bo‘lsin. Topologik fazo aksiomalaridan foydalanib, yopiq to‘plamlar uchun quyidagi xossalarni isbotlang:

1) X yopiq to‘plam;

2) bo‘sh to‘plam yopiq to‘plam;

3) chekli ondage yopiq to‘plamlarning birlashmasi yopiq to‘plam;

4) ixtiyoriy ondage yopiq to‘plamlarning kesishmasi yopiq to‘plam.

Yechish. 1) Bo‘sh to‘plam topologiyaga tegishli, topologiyaga tegishli to‘plamni ochiq deb ataganmiz. X esa, ochiq to‘plamning to‘ldiruvchisi sifatida yopiq to‘plam, chunki uni ko‘rinishida yozish mumkin.

2) X to‘plam topologiyaga tegishli, topologiyaga tegishli to‘plamni ochiq deb ataganmiz. Bo‘sh to‘plam esa ochiq to‘plamning to‘ldiruvchisidan iborat bo‘lganligi sababli, yopiq to‘plam, chunki uni ko‘rinishida yozish mumkin.

3) Endi chekli ondage yopiq to‘plamlarning birlashmasi yopiq to‘plam ekanligini isbotlaymiz. Bizga yopiq to‘plamlar oilasi berilgan bo‘lsin. Bu oiladan ixtiyoriy tarzda chekli ondage to‘plamlar ajratib olib, ularning birlashmasi yopiq ekanligini isbotlashimiz kerak.

Berilgan yopiq to‘plamlar sistemasidan ixtiyoriy olingan yopiq to‘plamlarni kabi belgilaylik. Endi to‘plamni yopiqligini isbotlashimiz kerak. Buning uchun X \ F to‘plamni ochiqligini isbotlash yetarli. Ma’lumki, ushbu munosabat har doim o‘rinli. Tenglikning o’ng tomonida chekli ondage ochiq to‘plamlarning kesishmasi turibdi. Modomiki, ondagec fazo ekan, yuqoridagi kesishma ochiq to‘plamdan iborat bo‘ladi. Demak, X \ F to‘plam ochiq to‘plamdir. Bundan F to‘plamning yopiqligi kelib chiqadi.

Natijada, chekli ondage yopiq to‘plamlarning birlashmasi yopiq to‘plam ekanligini isbotlandi.

4) Navbatda ixtiyoriy ondage yopiq to‘plamlarning kesishmasi yopiq to‘plam bo‘lishini isbotlashimiz kerak. Bizga yopiq to‘plamlar oilasi berilgan bo‘lsin. Bu oiladan ixtiyoriy tarzda to‘plamlar ajratib olib, ularning kesishmasi yopiq ekanligini isbotlashimiz kerak.

Berilgan yopiq to‘plamlar sistemasidan ixtiyoriy olingan yopiq to‘plamlar oilasini kabi belgilaylik.

Endi to‘plamni yopiqligini isbotlashimiz kerak. Buning uchun X \ F to‘plamni ochiqligini isbotlash yetarli.

Ma’lumki, ushbu munosabat har doim o‘rinli. Tenglikning o’ng tomonida ixtiyoriy ondage ochiq to‘plamlarning birlashmasi turibdi. Modomiki, ondagec fazo ekan, yuqoridagi birlashma ochiq to‘plamdan iborat bo‘ladi. Demak, X \ F to‘plam ochiq to‘plamdir. Bundan F to‘plamning yopiqligi kelib chiqadi.

Natijada, ixtiyoriy ondage yopiq to‘plamlarning kesishmasi yopiq to‘plam ekanligini isbotlandi.

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
4-ilova

Ikkitа elеmеntdаn ibоrаt to‘plаmning bаrchа tоpоlоgiyasini yozing. Bizga X -iхtiyoriy to‘plаm berilgan bo‘lsin. Оchiq to‘plаmlаr sistеmаsi sifаtidа uning bаrchа qism to‘plаmlаri sistеmаsini оlаmiz. Bu sistеmа tоpоlоgiya tаshkil etishini tеkshiring. Bu tоpоlоgiya diskrеt tоpоlоgiya dеyilаdi. Bu tоpоlоgiya bilаn bеrilgаn fаzоni diskrеt tоpоlоgik fаzо dеyilаdi. Аgаr оchiq to‘plаmlаr sifаtidа juftligi оlinsа, u ham tоpоlоgiya tаshkil etishi isbоtlаnsin. Buni (оddiy) triviаl tоpоlоgiya dеyilаdi. Topologik fazoda to‘plamlar berilgan bo‘lsin. U holda, ushbu munosabatning bаjаrilishi ko‘rsаtilsin. 4.Tоpоlоgik fаzоdа iхtiyoriy Y to‘plаm uchun tеnglikning o‘rinli ekаnligi ko‘rsаtilsin.

5-ilova

Bizga topologik fazo va uning qism to‘plami

berilgan bo‘lsin. U holda quyidаgilаr isbоtlаnsin:

1. 
   ;
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5.