Maruza mashg’ulotlari

Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellarini qurish. Xom ashyodan foydalanish masalasi. Biror karxona ikki xil, ya’ni M₁ va M₂ ishlab chiqarish uchun uch xil, ya’ni x₁,x₂,x₃ xom ashyodan foydalanadigan bo‘lsin. Xom ashyoning zaxiralari, mahsulot birligini tayyorlash uchun sarflangan xom ashyo birligining miqdori va har qaysi mahsulot birligidan keladigan foydaning son qiymati 1-jadvalda keltirilgandek bo‘lsin.

1-jadval

Xom ashyo xillari	Xom ashyo zaxirasi	Mahsulot birligini tayyorlash uchun sarflangan xom ashyo birligining miqdori.
		M1	M2
X1 X2 X3	20 40 30	2 8 5	5 5 6
Bir birlik mahsulotdan keladigan foyda.		50	40

Agar M₁ mahsulot birligining miqdorini X₁,M₂ mahsulot birligining miqdorini esa X₂ bilan belgilab olib, mahsulot birligini tayyorlash uchun sarf bo‘lgan xom ashyo birligini va xom ashyoning zaxirasini nazarda tutsak, quyidagi cheklanish tengsizliklarini (yoki shartlarini) hosil qilamiz.

2x₁+5x₂  20, 8x₁+5x₂  40, 5x₁+6x₂  30 (13.4)

Bu tengsizliklar mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilingan xom ashyoning berilgan xom ashyo zaxirasidan oshib ketmasligini ko‘rsatadi.

Agar M₁ xildagi mahsulot ishlab chiqarilmasa x₁=0, aks holda esa x₁> 0, M₂ xildagi mahsulot uchun ham xuddi shunday bo‘ladi.

Demak, hamma vaqt x₁0, x₂0 bo‘lar ekan. M₁ xildagi bir-birlik mahsulot 50 birlik foyda bergani uchun shu xildagi umumiy mahsulotdan keladigan foyda 50x₁, ga teng bo‘ladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi xil mahsulotdan 40x₂ foyda olinadi. Umumiy foyda quyidagi

Z=(x_1,x₂)=50x₁+40x₂ (13.5)

ko‘rinishda bo‘ladi va qo‘yilgan masalaning maqsad funksiyasini ifodalaydi.

Cheklanish shartlari (13.4) va maqsad funksiyasi (13.5) chiziqli bo‘lgani uchun (13.5)-(13.4) ifoda chiziqli iqtisodiy masalaning, ya’ni xom ashyodan foydalanish masalasining matematik modelini tashkil qiladi. Demak, masalani echish uchun (13.4) sistemaning shunday manfiy bo‘lmagan echimini topamizki, unda (13.5) formula bilan aniqlangan Z chiziqli funksiya eng katta qiymatga erishadi (Z maksimallashadi), ya’ni umumiy foyda eng katta bo‘ladi.

Endi xom ashyodan foydalanish masalasini umumiy holda qo‘yish mumkin.

Faraz qilaylik, korxona n xil mahsulot tayyorlash uchun m xil xom ashyodan foydalanadigan bo‘lsin. Avvalgi masalamizga o‘xshash, mahsulot xillarini bilan, xom ashyo hillarini bilan, xom ashyoning zaxiralarini b_i bilan, i-ko‘rinishdagi xom ashyo birligi miqdoridan j-nomerli mahsulot tayyorlash uchun qancha sarf qilinganligini a_ij; j - nomerli mahsulot birligi realizasiya qilingandan keyin olinadigan foydani S_j bilan va j – nomerli mahsulot birligining miqdoring X_J bilan belgilasak (2-jadval) qo‘yilgan masalaning matematik modeli quyidagi bo‘ladi.

(13.6)

(13.7)

Bu erda (13.6) maqsad funksiya, (13.7) esa cheklanish shartlaridir.

2 – jadval

Xom ashyo xillari	Xom ashyo zaxirasi	j – nomerli mahsulot birligini tayyorlash uchun sarf qilingan, i-xildagi xom ashyo birligining miqdori.
		M1		M2		M3		...	Mn
X1 X2 . . . xm	b1 b2 . . . bm	a11 a21 . . . am1		a12 a22 . . . am2		a13 a23 . . . am3		.... .... ... ... ... ...	a1n a2n . . . amn
Bir birlik mahsulotdan keladigan foyda			C1		C2		C3	.....	Cn

Qo‘yilgan masaladan ko‘rinib turibdiki, maqsad funksiya (13.6)ni maksimallashtiradigan X_j  0 larni topish uchun chiziqli tengsizliklar sistemasi (13.7)ning manfiy bo‘lmagan echimlarini topish kerak. Tengsizliklar sistemasini echish tenglamalar sistemasini echishga qaraganda ancha murakkab bo‘lgani uchun, ko‘pincha tengsizliklar sistemasi (13.7) unga teng kuchli bo‘lgan tenglamalar sistemasi bilan almashtiriladi. Buning uchun, tengsizliklar sistemasi (13.7) ning chap tomoniga, hozircha noma’lum va musbat bo‘lgan X_n+i  0, i=1.m o‘zgaruvchilarni qo‘shib yozish kifoyadir, ya’ni

(13.8)

Bu sistemada noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ko‘p, ya’ni n+mn bo‘lgani uchun (13.8) sistema cheksiz ko‘p echimlarga egadir. Bu echimlar to‘plamidan shunday x_j0 larni tanlab olish talab qilinadiri, maqsad funksiya (13.6) o‘zining eng katta qiymatiga erishsin. (13.6)-(13.7) umumiy holda xom ashyodan foydalanish masalasining matematik modelini tashkil qiladi.

Transport masalasi, ozuqa rasioni masalasi va boshqa masalalarning umumiy holdagi matematik modellari ham shu kabi tuziladi.