M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

N

1

 kuch 

epyurasini quramiz (9.12f-rasm). 

Δ

A

=

 

EF

p

N

1

⋅

ω

 

Ammo, 

σ

 

=

 N

/

F, N

P

/

EF epyura yuzasi «

σ

» epyurasi yuzasi 

ω

σ

 ni E ga 

bo‘linganiga teng bo‘lgani uchun 

Δ

A

=

Е

σ

ω

 

yoki 

Δ

A

=

 

2

6

2

2

2

2

/

10

2

50

/

160

30

/

400

30

/

200

60

/

500

sm

kg

sm

sm

kg

sm

sm

kg

sm

sm

kg

sm

sm

kg

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

 

---

 

229

-

sm

sm

kg

sm

sm

kg

0038

,

0

/

10

2

60

/

640

2

6

2

=

⋅

⋅

 

ya’ni sterjen uzunligi o‘zgarishi miqdor jihatidan normal kuchlanishlar 

epyurasi yuzasini material elastiklik moduliga bo‘linganiga teng. 

 

Mor – Vereshchagin usulini qo‘llab nafaqat alohida sterjenlar, 

balki sterjenlar sistemasi ko‘chishlarini ham osongina aniqlash mumkin. 

Misol tariqasida sharnir vositasida bog‘langan ikki sterjendan iborat 

sterjenli sistema A nuqtasining to‘la ko‘chishini aniqlaylik (9.13-rasm) 

 

9.13-rasm. Sterjenli sistemalarda ko‘chishlarni aniqlash. 

 

 

A nuqtaning to‘la ko‘chishini topish uchun uning vertikal va 

gorizontal ko‘chishlarini aniqlash kerak. Sterjenlar sharnir vositasida 

biriktirilgani uchun ko‘ndalang kesimlarda faqat N bo‘ylama kuch 

paydo bo‘ladi. Ichki kuchlarni aniqlaymiz va tashqi yuk N

P

 epyurasini 

quramiz (9.14-rasm). 

 

9.14-rasm. Sterjenda hosil bo‘ladigan bo‘ylama kuch epyurasi. 

 

Σ

X 

=

 N

1

cos 30

°

 – N

2

cos 60

°

 

=

 0, N

1

=

 0,58N

2

 

⎭

⎬

⎫

=

+

=

−

+

=

∑

2

1

2

1

2

1

58

,

0

86

,

0

5

,

0

0

30

cos

60

cos

N

N

N

N

yoki

P

N

N

Y

o

o

 

Bu yerda, N

1

=

 0,87P, N

2

=

0,5P. 

---

 

230

A nuqtani vertikal birlik kuch bilan yuklab, sterjenlardagi, birlik 

kuchdan hosil bo‘lgan zo‘riqishni topamiz va N

1

ver

 epyurasini quramiz 

(9.15-rasm). 

 

 

9.15-rasm. Vertikal burchakli kuch ta’sirida qurilgan epyura. 

 

Vertikal birlik kuch ta’siridan hosil bo‘lgan N

1

 epyurasi 

N

P

epyurasidan P ko‘paytuvchi bilan farq qiladi. 

 

 

N

p 

va N

1

ver

 epyuralarini ko‘paytirib A nuqtaga vertikal 

ko‘chishini aniqlaymiz. 

Δ

EF

P

EF

P

EF

P

ver

À

l

l

l

64

,

1

87

,

0

2

87

,

0

2

5

,

0

5

,

0

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

 

Natijadagi (

+

) ishora vertikal ko‘chish yo‘nalishi birlik kuch 

yo‘nalishida, ya’ni pastga yo‘nalganini bildiradi. 

 

A nuqtaga gorizontal birlik kuch r 

=

1  ni yuklab, birlik kuch 

ta’siridan sterjenlar zo‘riqishini topamiz va N

1

gor

 epyurasini quramiz 

(9.16-rasm). 

 

 

9.16-rasm. Gorizontal birlik kuch ta’sirida qurilgan epyura. 

 

1

2

1

1

1

2

1

1

58

,

0

,

0

30

cos

60

cos

N

N

N

N

У

−

=

=

°

+

°

=

Σ

 

1

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

58

,

0

0

1

87

,

0

5

,

0

,

0

60

cos

30

cos

1

N

N

N

N

N

N

X

−

=

=

−

−

=

°

−

°

+

=

Σ

 

Bu yerdan 

58

,

0

,

1

1

1

1

2

−

=

=

N

N

 

 

N

P 

va N

1

gor

 epyuralarni ko‘paytirib A nuqta gorizontal ko‘chishini 

aniqlaymiz. 

---

 

231

EF

P

EF

P

EF

P

gor

À

l

l

l

56

,

1

2

1

87

,

0

2

58

,

0

5

,

0

=

⋅

⋅

+

⋅

−

=

Δ

 

Natijadagi (

+

) ishora A nuqta gorizontal ko‘chishi yo‘nalishi birlik kuch 

yo‘nalishida, ya’ni chapga yo‘nalganini anglatadi. 

 

A nuqta to‘la ko‘chishini topamiz. 

EF

P

EF

P

EF

P

gor

À

ver

À

À

l

l

l

3

,

2

56

,

1

64

,

1

)

(

)

(

2

2

2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Δ

+

Δ

=

Δ

 

 

Mor – Vereshchagin usuli bilan buralishdagi deformatsiyalarni 

ya’ni burilish burchaklarini aniqlash ham nisbatan oson kechadi. 

Buralishda sterjen bikrligini ko‘ndalang kesimi o‘qqa nisbatan 

simmetrik bo‘lgan sterjenlar (doira, halqa) uchun I

ρ

G ko‘paytma, yoki 

ko‘ndalang kesimi ixtiyoriy shakldagi sterjenlar uchun I

b

G ko‘paytma 

aniqlaydi. Misol tariqasida 9.17a-rasmda keltirilgan doirasimon po‘lat 

sterjen to‘la buralish burchagini topish talab etilsin. Sterjen diametri 

100mm ga teng. 

 

 

9.17-rasm. Mor-Vereshchagin usuli bilan buralishdagi deformatsiyalarni 

aniqlash. 

 

 

To‘la buralish burchagi A nuqtadan o‘tuvchi ko‘ndalang 

kesimning buralish burchagiga teng. 

 

Tashqi yuk ta’siridan buruvchi momentlar 

Р

б

М

 epyurasini 

quramiz (9.17b-rasm). 

M

1 

=

 600 kg

⋅

m, M

2

 

=

 600 

+

 200 

=

 800 kg m. 

M

3 

=

 600 

+

200 – 1000 

=

 -200 kg

⋅

m. 

---

 

232

 

A nuqtada birlik burovchi momentni yuklaymiz va 

1

б

М

 

epyurasini quramiz (9.17d-rasm). 

 

Vereshchagin

 

 

qoidasi

 

asosida M

P

 va M

1 

epyuralarni 

ko‘paytiramiz. 

G

I

sm

kg

G

I

sm

sm

kg

sm

sm

kg

sm

sm

kg

ρ

ρ

ϕ

2

1

380000

1

50

60000

1

20

80000

1

60

20000

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

=

 

 

 

 

Doira uchun I

ρ

 =0,1d

4

 = 0,1 (10)

4

 sm

4

 

=

 1000 sm

4

 ga teng. Po‘lat 

uchun G 

=

 8 

⋅

10

5

 kg

/

sm

2

 ga teng. 

Shunday qilib, to‘la buralish burchagi  

00048

,

0

/

10

8

1000

380000

2

5

4

2

=

⋅

⋅

=

sm

kg

см

sm

kg

А

ϕ

rad

 

 Natijadagi 

(

+

) ishora buralish burchagi yo‘nalishi birlik moment 

yo‘nalishi bilan bir xilligini bildiradi. Valning ko‘ndalang kesimi 

o‘zgarmas bo‘lganda buralish burchagi miqdor jihatidan tashqi kuchlar 

ta’siridan burovchi momentlar epyurasi yuzasini valning buralishidagi 

bikrligiga bo‘linganiga teng ekan. Ba’zi hollarda, masala shartiga ko‘ra 

berilgan nuqtaning absolyut ko‘chishini emas, balki ikki nuqtaning bir-

biriga nisbatan ko‘chishi  kattaligini aniqlash talab etiladi. Yuqorida 

ko‘rsatib o‘tilganidek, bu holda ikkala nuqtaga qarama-qarshi tomonga 

yo‘nalgan birlik kuchlar qo‘yiladi. Bir-biriga nisbatan ko‘chishni 

aniqlashni keyingi bosqichlari absolyut ko‘chishni aniqlashdan farq 

qilmaydi. Buning uchun tashqi yuklama ta’siridagi kuchlar epyurasi 

quriladi, birlik kuchlar epyuralari quriladi va yuklama va birlik kuchlar 

epyuralari ko‘paytirilib ko‘chish topiladi. Misol tariqasida 9.18-rasmda 

keltirilgan rama A

1

 va A

2

 nuqtalarining bir-biriga nisbatan ko‘chishini 

topaylik. 

A

1

 va A

2

 nuqtalarning bir-biriga nisbatan ko‘chishi vertikal va 

gorizontal yo‘nalishlarda hamda A

1

, A

2

 nuqtalardan o‘tuvchi ko‘ndalang 

kesimlarning bir-biriga nisbatan buralishdan iborat bo‘lishi mumkin. 

Tashqi yuklama ta’siridagi kuchlar epyurasini quramiz (9.19-rasm). 

Berilgan sistema faqat egilishga ishlagani uchun ko‘chishni aniqlashda 

sistema faqat eguvchi momentlarni ko‘chishga ta’sirini hisobga olamiz. 

200 

0,6m 

800 

0,2 

1 

1 

600 

0,5 

1 

---

 

233

 

 

9.18-rasm. Berilgan ramaning A

1

, A

2

 nuqtalarining bir-biriga nisbatan 

ko‘chishini aniqlash. 

 

 

9.19-rasm.  Tashqi kuch ta’siridan qurilgan M

P

 epyura. 

 

M

1

=

 q z

2

/

2          z

1 

=

 0  da  M 

=

 0 

                               z

1 

=

 3  da  M 

=

 9 t 

⋅

 m 

                                 M

2

 

=

 9 t 

⋅

 m 

                                 M

3

 

=

 q z

3

            z

3

 

=

 0 da  M 

=

 0 

                                                         z

3

 

=

 3 da  M 

=

 9 t 

⋅

 m 

                                  M

4

 

=

 9 t 

⋅

 m   

 

M

P

 epyurasining vertikal o‘qqa nisbatan simmetrikligi tashqi yuk 

va ramaning simmetrikligiga mos keladi. 

 

A

1

 va A

2

 nuqtalardan o‘tuvchi ko‘ndalang kesimlar bir-biriga 

nisbatan buralish burchagini topish uchun bu nuqtalarga birlik 

momentlar yuklab, birlik epyurani quramiz (9.20-rasm). 

1

,

1

1

,

1

1

4

1

3

1

2

1

1

=

=

=

=

М

М

М

М

 

 

---

 

234

 

 

9.20-rasm. Birlik moment ta’siridan qurilgan epyura. 

 

M

1

 epyurasi vertikal o‘qqa nisbatan  simmetriyaga ega. M

P

 va M

1

 

epyuralarni ko‘paytirib bir-biriga nisbatan buralish burchagini topamiz. 

EI

EI

EI

EI

EI

À

À

126

1

6

)

9

(

3

1

3

)

9

(

1

6

)

9

(

3

1

3

)

9

(

2

1

−

=

⋅

−

+

⋅

−

+

⋅

⋅

−

+

⋅

−

=

θ

 

 

 

Natijadagi (–) ishora A

1

 va A

2

 nuqtalardan o‘tuvchi ko‘ndalang 

kesimlar bir-biriga nisbatan buralish burchagi yo‘nalishi birlik moment 

yo‘nalishiga qarama-qarshi ekanligini bildiradi. 

 

A

1 

va A

2 

nuqtalar bir-biriga nisbatan gorizontal ko‘chishini 

aniqlash uchun ularni gorizontal birlik kuchlar bilan yuklab, M

1

gor

 

epyurasini quramiz (9.21-rasm). 

 

9.21-rasm. Gorizontal kuch ta’siridan qurilgan birlik epyura. 

 

M

1 

=

 0 

M

2

 

=

 1

⋅

 z

2

 , z

2

 

=

 0 da M 

=

 0 

                     z

2

 

=

 6 m da M 

=

 6m 

 

M

3

 

=

 0    

---

 

235

M

4

 

=

 1

⋅

 z

4

 ,  z

4

 

=

 0 da M

7

 

=

 0, 

                   z

4 

=

 6m  da M 

=

 6m 

 

A

1

 va A

2

 nuqtalar bir-biriga nisbatan gorizontal ko‘chishini topish 

uchun M

1 

va  M

2

 epyuralarni ko‘paytiramiz. 

EI

tm

EI

EI

А

А

3

324

2

6

6

)

9

(

2

6

6

)

9

(

2

1

−

=

⋅

⋅

−

+

⋅

−

+

=

Δ

 

 

 

Natijadagi (–) ishora A

1

 va A

2

 nuqtalarning bir-biriga nisbatan 

gorizontal ko‘chishi birlik kuchlar yo‘nalishiga teskari ekanligini 

bildiradi. 

 

Epyuralar simmetrik bo‘lgan holda birinchi yarim epyuralarini 

ko‘paytirib, olingan natijani ikkiga ko‘paytirish kifoya ekanligi ko‘rinib 

turibdi. 

 

A

1

 va A

2

 nuqtalarni bir-biriga nisbatan veritkal ko‘chishini 

aniqlash uchun ularni vertikal birlik kuch bilan yuklab, M

1

 epyurasini 

quramiz (9.22-rasm). 

 

9.22-rasm. Vertikal kuch ta’siridan qurilgan birlik epyura. 

 

                             M

1

=

 1

⋅

 z

1

          z

1 

=

 0  da  M 

=

 0 

                          z

1 

=

 3m  da  M 

=

 3m 

                                 M

2

 

=

 3m 

                                 M

3

 

=

 -1

⋅

 z

3

            z

3

 

=

 0 da  M 

=

 0 

                                                         z

3

 

=

 3m da  M 

=

 -3m 

                                  M

4

 

=

 -3m   

 

Vertikal birlik kuch ta’siridan M

1

 epyurasi vertikal o‘qqa nisbatan 

«qiya simmetrik» dir, qiya simmetrik so‘zi ma’nosi ostida mos epyuralar 

ordinatalarining simmetriya o‘qiga nisbatan qiymatlari tengligi va 

---

 

236

ishoralari qarama-qarshiligi tushuniladi. A

1

 va A

2

 nuqtalar bir-biriga 

nisbatan vertikal ko‘chishini topish uchun M

P

 va M

1

 epyuralarni 

ko‘paytiramiz. 

0

)

3

(

6

)

9

(

4

)

3

(

3

)

9

(

3

6

)

9

(

4

3

3

)

9

(

2

1

=

−

⋅

−

+

−

−

+

⋅

−

+

⋅

⋅

−

=

Δ

EI

EI

EI

EI

ver

А

А

 

 

 

 A

1

 va A

2

 nuqtalar bir-biriga nisbatan vertikal ko‘chishi nolga teng. 

Bundan A

1

 va A

2

 nuqtalar absolyut vertikal ko‘chishi nolga tengligi 

kelib chiqadi. Ushbu nuqtalar vertikal ko‘chishlari o‘zaro teng va bir xil 

tomonga yo‘nalgan.  

 

Misolimizda simmetrik va qiyasimmetrik epyuralar ko‘paytirildi. 

Ushbu ko‘paytirish natijasi doimo nolga teng bo‘ladi.  

 

Egri chiziqli sterjenlar ko‘chishlarini aniqlash uchun ham aniq 

darajadagi yaqinlashish asosida Vereshchagin qoidasini qo‘llash 

mumkin. 

Bu holda egri chiziqli sterjenni bir necha uchastkalardan iborat 

siniq sterjen bilan almashtiriladi va har bir uchastka doirasida ordinata 

o‘zgarishi chiziqli qonunga bo‘ysunadi deb faraz qilinadi. Misol 

tariqasida doirasimon bo‘ylama o‘qli konsol sterjen A nuqtasining 

gorizontal ko‘chishini topish talab etilsin (9.23-rasm). 

 

9.23-rasm. Doirasimon bo‘ylama o‘qli konsol sterjen 

 

 

Doirani unga ichki chizilgan siniq chiziqlar bilan almashtiramiz va 

shu tariqa sterjen o‘qini uchastkalarga bo‘lamiz (9.24-rasm).  

 

9.24-rasm. Berilgan sterjen uchastkalari. 

 

---

 

237

Har bir uchastka uzunligi va momentlar epyuralari ordinatasini 

aniqlaymiz. Har bir uchastka uzunligi 0,76 R ga teng. Tashqi yuklama 

ta’siridagi epyura ordinatasi M 

=

 PR sin

ϕ

  ga teng. 

0 kesim   

ϕ

 

=

 0

º

     sin

ϕ

 

=

 0           M 

=

 0  

1 kesim   

ϕ

 

=

45

º

    sin

ϕ

 

=

 0,7        M 

=

 0,7 PR 

2 kesim   

ϕ

 

=

90

º

    sin

ϕ

 

=

 1            M 

=

 PR 

3 kesim   

ϕ

 

=

135

º

   sin135

º

 

=

 0,7     M 

=

 0,7 PR 

4 kesim   

ϕ

 

=

180

º

  sin 180

º

 

=

0        M 

=

 0 

 

 

9.25-rasm. Tashqi kuchdan qurilgan M

P

 epyura. 

          

Ushbu kattaliklar asosida tashqi  yuk ta’siridan taqribiy epyurani 

quramiz (9.25-rasm). Birlik kuch ta’siridan hosil bo‘lgan epyura tashqi 

yuklama epyurasidan 

ρ

 doimiy  ko‘paytmaga farq qiladi. Epyuralarni 

Vereshchagin qoidasi bo‘yicha ko‘paytiramiz. 

Epyuralar vertikal o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun 

Epyuralar yarmini ko‘paytirib natijani ikkilantirish kifoya qiladi. 

⎩

⎨

⎧

+

⋅

⋅

=

Δ

EI

R

R

PR

ver

A

3

76

,

0

7

,

0

7

,

0

2

 

[

]

3

4

,

1

7

,

0

7

,

0

)

7

,

0

7

,

0

(

2

6

76

,

0

PR

R

PR

PR

R

R

PR

R

PR

EI

R

=

⎭

⎬

⎫

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

 

 

 

Olingan natijani Mor integrali bo‘yicha olingan aniq javob bilan 

solishtirsak (9.5-rasm) 10% farq mavjudligi ko‘rinadi. Bu kattalikni 

kamaytirish uchun sterjen o‘qishni ko‘proq uchastkalarga bo‘lish kerak. 

 

---

 

238

 

 

 

 

 

X bob