Компьютерное моделирование

Существенные факторы:

Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе.

Рассмотрим воздействие окружающей среды на численность популяции живых организмов как черный ящик.

• M(n)

• M(n+1)

• 2. Формализация. Дано:
• М(0) – начальное кол-во живых организмов
• K – коэффициент прироста за год
• Найти: M(n) –число живых организмов через n лет

• 3. Связь: M(n+1) - M(n) – прирост за 1 год, тогда M(n+1) - M(n) = kM(n)
• M(n+1) = M(n) + kM(n) или M(n+1) = (1 +k)·M(n)
• Обнаруженную закономерность можно сформулировать так: если действие окружающей среды сказывается лишь на скорости прироста, то живые организмы размножаются в геометрической прогрессии.
• Это модель неограниченного роста

Масса	Модель	Тундра К=0,6	Тайга К=1,8	Степь К=1,2	Пустыня К=0,8
Начальная		1т	1т	1т	1т
>100 т	НОР
	ОР
>1000 т	НОР
	ОР
>10’000 т	НОР
	ОР
>массы Земли: 5976·1018	НОР

• Анализ Моделей
• Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

Масса	Модель	Тундра К=0,6	Тайга К=1,8	Степь К=1,2	Пустыня К=0,8
Начальная		1т	1т	1т	1т
>100 т	НОР	10	5	6	8
	ОР
>1000 т	НОР	15	7	9	12
	ОР
>10’000 т	НОР	20	9	12	16
	ОР
>массы Земли: 5976·1018	НОР	49

• Анализ Моделей
• Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

• Выводы:

• I.Модель неограниченного роста (НОР)
• На увеличение массы в 10 раз потребовалось 2-3 года
• Модель НОР не годится для решения задачи популяции, хотя и адекватна до некоторого момента.
• Сл-но, для выяснения непригодности какой-либо модели она должна быть построена

• Выводы:

• Л/работа «Модель ограниченного роста (ОР)»

• Построение модели
• Существенные факторы:
• Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе
• Существует некоторое предельное значение массы живых организмов
• Коэффициент прироста массы живых организмов k за ед. времени пропорционален разности между максимально возможным значением массы и массой, имеющейся к данному моменту времени

• 2. Параметры модели.
• Дано:
• М(0) – начальная масса живых организмов
• L – предельное значение массы живых организмов
• a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста
• n – время
• Найти: M(n) – массу живых организмов через n лет

• 3. Связь: a=k/ (L - M(0)) для n=0,1,2,3… M(n+1) =M(n) + a·M(n)·(L - M(n))

Масса	Модель	Тундра К=0,6	Тайга К=1,8	Степь К=1,2	Пустыня К=0,8
Начальная		1т	1т	1т	1т
>100 т	НОР	10	5	6	8
	ОР	10	5	6	8
>1000 т	НОР	15	7	9	12
	ОР	15	7	9	12
>10’000 т	НОР	20	9	12	16
	ОР	23	10	13	18
>массы Земли: 5976·1018	НОР	49

• Анализ Моделей
• Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

• Выводы:

• I.Модель ограниченного роста (ОР)
• На начальных этапах развития популяции значение массы живых организмов в моделях НОР и ОР совпадают
• Чем медленнее рост (меньше К), тем больше требуется время на удесятерение массы растений
• Строящаяся модель зависит от того, какими будут параметры, описывающие существенные факторы
• Для описания одного и того же фактора может быть взята разная система параметров,  это приводит к появлению разных моделей

Адекватность модели

• Если модель дает удовлетворительные результаты при решении задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению).
• Никакая модель не эквивалентна исходному объекту, процессу или явлению
• Адекватность модели определяется ее согласованностью с практикой и общетеоретическими положениями
• Область адекватности модели – совокупность всех тех ситуаций, в которых применяется данная модель
• Всякая модель имеет ограниченную область адекватности, и за ее пределами она перестает удовлетворительно отражать свойства моделируемого объекта. Поэтому и применять модель для решения той или иной жизненной задачи допустимо только тогда, когда мы убедились, что не вышли за границы области адекватности.

• Что значит найти границы адекватности данной модели?
• - необходимо установить, в каких пределах и как по отношению друг к другу могут меняться параметры модели, чтобы она оставалась адекватной

• Как находить границы адекватности модели?
• Проведение натурного эксперимента
• Проведение компьютерного эксперимента, опирающегося на общетеоретические положения

• Неадекватность модели может проявляться:
• В несоответствии результатов, полученных с помощью этой модели, практическим наблюдениям
• В противоречии результатов, полученных с помощью этой модели, с теорией, справедливость которой доказана
• Неадекватность модели всегда является следствием того, что при ее построении не были учтены какие-то существенные факторы

• Факторы, определяющие смену модели:
• Возникновение противоречий с практикой в виде реальной деятельности человека
• Возникновение противоречий с более общей теорией
• Появление более совершенного языка описания моделей
• Появление более мощных средств реализации моделей

• Л/работа «Поиск границ адекватности модели»

• Цель: исследовать модель Неограниченного роста на адекватность

• Критерии адекватности:
• Оценка адекватности погрешностью отклонения массы, рассчитанной по НОР, от массы, рассчитанной по модели ОР. Критерий отклонения: М(n) – Mo(n) ≤ 10%
• Найти функцию f(k,L), такую, что при n < f(k,L) модель НОР удовлетворяет сформулированному критерию адекватности

• Попытаемся определить, насколько мала должна быть исходная масса живых организмов по отношению к предельной массе, чтобы модель неограниченного роста оставалась адекватной в течение нескольких лет

• Модель
• неограниченного роста
• Параметры модели
• Дано:
• М(0) – начальная масса живых организмов
• К – коэф. прироста
• n – время
• Найти: M(n) – массу живых организмов через n лет
• Связь:
• M(n+1) = (1 +k)·M(n)

• Модель ограниченного роста
• Параметры модели.
• Дано:
• Мо(0) – начальная масса живых организмов
• К – коэффициет прироста
• L – предельное значение массы живых организмов
• a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста
• n – время
• Найти: Mо(n) – массу живых организмов через n лет
• Связь:
• Mо(n) – вычисление массы в модели ограниченного роста. Т.к Mо(0) = М(0) то, Mо(1)=М(1). Но Mо(2)<М(2) и далее различие будет больше между Mо и M.  необходимо договориться какое расхождение между ними будем считать допустимым. Например, модель неограниченного роста считаем адекватной, если
• М – Мо ≤10%

• Зависимость границы адекватности n от k и L

L	K	n	Вывод
11000	1,8
	1,2
	1
22000	1
44000	1
5500	1

• При уменьшении K граница n отодвигается (увеличивается)

• При увеличении L в 2 раза граница n отодвигается на 1 год,  L образует геометрическую прогрессию относительно границы адекватности n,

•  L= b·2n-1, где b – коэфф-т, b=L/2n-1 Но K(n)= a(L-M(n)) для n=0,1,2,3…  L-M(n)=K(n)/a  L=K(n)/a+M(n), т.е. участвует еще и К.
• При К=1 выполняется соотношение 2=1+К  можно предположить, что L=b(1+K)n-1  b=L/(1+K)n-1 Нетрудно проверить, что b не зависит от К и при различных К значение b≈8
•  Вывод: моделью НОР можно пользоваться с учетом погрешности в 10% при выполнении условия L ≥ 8(1+k)n-1

• 8

• 10

• 12

• 13

• 14

• 11

• Решая показательное неравенство L ≥ 8(1+k)n-1 , получим выражение для n, показывающее, как долго можно пользоваться моделью НОР при заданных К и L:

•  существует функция f(k,L), определяющая границу адекватности модели

• Итак, с помощью ИТ:
• Исследован характер зависимости между различными переменными
• Выдвигаются и проверяются в компьютерном эксперименте гипотезы о формуле для этой зависимости

• Этапы решения задач с помощью ЭВМ

• Результат
• адекватен

• Структура данных

• Жизненная
• задача

• Модель
• задачи

• Модель
• решения
• задачи

• Получение
• и анализ
• результатов

• Да

• Ответ

• Нет

• Отладка

• Изменение
• модели
• решения

• Уточнение
• задачи

• Исполнитель

• Естественный язык

• Формализованный язык

• Формальный язык

Компьютерные модели в задачах управления

• Модель потребления возобновляемых ресурсов

• Целенаправленное воздействие на факторы динамической системы называется управлением этой системы

• Виды природных ресурсов:
• Возобновляемые (леса)
• Невозобновляемые (руда)

• Задача управления: Сколько леса можно рубить ежегодно, чтобы обеспечить его нормальное воспроизводство?

• Модель ограниченного роста – модель прироста растительной массы без вмешательства человека

• M(n)

• M(n+1)

• Модель потребления возобновляемых ресурсов

• M(n)

• M(n+1)

• R

• Л/работа «Управление добычей возобновляемых ресурсов»

• Построение модели
• Существенные факторы:
• Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе
• Существует некоторое предельное значение массы живых организмов
• Коэффициент прироста массы живых организмов k за ед. времени пропорционален разности между максимально возможным значением массы и массой, имеющейся к данному моменту времени
• Величина ежегодно изымаемого ресурса постоянна

• 2. Параметры модели. Дано:
• М(0) – начальная масса живых организмов
• L – предельное значение массы живых организмов
• a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста
• n – время
• R – величина ежегодного потребления возобновляемого ресурса
• Найти: M(n) – количество ресурса через n лет

• 3. Связь:

R	Прирост	Масса	Кол-во лет для восстановления (R=Приросту)
1000
3000
4000
5000

• Вывод: В результате вычислительного эксперимента обнаружено явление саморегуляции и стремление системы к некоторому положению равновесия, т.к. информация с выхода снова поступает на вход системы