Jkiuo9vii bob oddiy differensial tenglamalarni taqribiy


§ 7.2. Darajali qatorlar yordamida integrallash



Download 320 Kb.
bet2/5
Sana19.07.2022
Hajmi320 Kb.
#824619
1   2   3   4   5
Bog'liq
oddiy differensial tenglamalarni taqribiy

§ 7.2. Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama


(7.2.1)
uchun boshlang’ich shartlar berilgan
(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.


(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:
(7.2.3)
Bu erda |x-x0| h, h – etarli kichik son.
Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol.
y=x2u (7.2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(7.2.5)
(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak
y(3)=2xy+x2y
y(4)=2y+2xy +2xy + x2y ’’=2y+4xy + x2y ’’
y(5)=2y +4y +4xy ’’+2xy ’’+ x2y ’’’=6y +6xy ’’+ x2y ’’’
y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4)
y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5)
y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;
y(8)(0)=60.
Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:
y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y’’=x2u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.
Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a0 +a1x+a2x2+...+anxn+... (7.2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak
y=a1 +2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1...
u’’=2a2 +6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2...
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak
u=1+a2x2+a3x3+a4x4...+anxn
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y’’-x2y =0 foydalanamiz:
2a2 +6a3x+12a4x2+20a5x3+30a6x4+...+ n(n-1) an xn-2
x2(1+a2x2+a3x3+a4x4...+ anxn+...)=0.
Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz
2a2+6a3x+(12a4–1)x2+20a5x3+(30a6 –a2)x4+(42a7–a3)x5+
+(56a8–a4)x5...=0.
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a2=0, a3=0, 12a4–1=0 .
Bundan a4= ; a5=0; 30a6-a2=0; a6=0 ;a7=0 va 56a8-a4=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin


u=1+ x4+ x8...
§ 7.3. Galerkin usuli
Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.
Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin: (7.3.1)
(7.3.2)
(7.3.3)
bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar; -o’zgarmaslar.
Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:
>0, >0.
Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini tanlab olamiz:
1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega S2 .
2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar da
chiziqli bog’liq emas.
3)

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi funktsiyalar
S2 to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.
Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.
Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda
(7.3.4)
qidiramiz.
Noma’lum a1, a2,..., an koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:

bu erda
R (x, a1 ,a2 ,... an) = y’’n(x) + p(x)yn(x) - q(x)yn(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:


(7.3.5)
bu erda


Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi.
Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.

Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani


y’’(x)+2xy(x)-2y(x)=2x2, 0 x 1,
y(0)=-2, y(1)+y’(1)=0
taqribiy yechimini toping.
Yechish. Koordinat funktsiyalarni ... , darajali funktsiyalar 1, x, x2, ... kombinasiyasi sifatida olamiz.
funktsiya chegaraviy shartlarni qanotlantirishini xisobga olsak ekanligini topamiz.
funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni

hosil qilamiz.
k,i=1,2 uchun cki va di larni topamiz:






U holda Galerkin tenglamalar tizimidan

noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz:
a1=1,14852, a2=-0,13498.
Natijada, berilgan chegaraviy masalani taqribiy yechimini hosil qilamiz:
y(x) 1,094-2x+1,149x2-0,135x3.



Download 320 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish