Introduction to Algorithms, Third Edition

aggregate
flow
, to be the sum of the various commodity flows, so that
f
u
D
P
k
i
D
1
f
i u
. The
aggregate flow on edge
.u; /
must be no more than the capacity of edge
.u; /
.
We are not trying to minimize any objective function in this problem; we need
only determine whether such a flow exists. Thus, we write a linear program with a
“null” objective function:
minimize
0
subject to
k
X
i
D
1
f
i u
c.u; /
for each
u; 
2
V ;
X
2
V
f
i u
X
2
V
f
i u
D
0
for each
i
D
1; 2; : : : ; k
and
for each
u
2
V
f
s
i
; t
i
g
;
X
2
V
f
i;s
i
;
X
2
V
f
i;;s
i
D
d
i
for each
i
D
1; 2; : : : ; k ;
f
i u
0
for each
u; 
2
V
and
for each
i
D
1; 2; : : : ; k :
The only known polynomial-time algorithm for this problem expresses it as a linear
program and then solves it with a polynomial-time linear-programming algorithm.
Exercises
29.2-1
Put the single-pair shortest-path linear program from (29.44)–(29.46) into standard
form.
29.2-2
Write out explicitly the linear program corresponding to finding the shortest path
from node
s
to node
y
in Figure 24.2(a).
29.2-3
In the single-source shortest-paths problem, we want to find the shortest-path
weights from a source vertex
s
to all vertices
2
V
. Given a graph
G
, write a

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Chapter 29
Linear Programming
linear program for which the solution has the property that
d
is the shortest-path
weight from
s
to
for each vertex
2
V
.
29.2-4
Write out explicitly the linear program corresponding to finding the maximum flow
in Figure 26.1(a).
29.2-5
Rewrite the linear program for maximum flow (29.47)–(29.50) so that it uses only
O.V
C
E/
constraints.
29.2-6
Write a linear program that, given a bipartite graph
G
D
.V; E/
, solves the maxi-
mum-bipartite-matching problem.
29.2-7
In the
minimum-cost multicommodity-flow problem
, we are given directed graph
G
D
.V; E/
in which each edge
.u; /
2
E
has a nonnegative capacity
c.u; /
0
and a cost
a.u; /
. As in the multicommodity-flow problem, we are given
k
dif-
ferent commodities,
K
1
; K
2
; : : : ; K
k
, where we specify commodity
i
by the triple
K
i
D
.s
i
; t
i
; d
i
/
. We define the flow
f
i
for commodity
i
and the aggregate flow
f
u
on edge
.u; /
as in the multicommodity-flow problem. A feasible flow is one
in which the aggregate flow on each edge
.u; /
is no more than the capacity of
edge
.u; /
. The cost of a flow is
P
u;
2
V
a.u; /f
u
, and the goal is to find the
feasible flow of minimum cost. Express this problem as a linear program.