Ibragimova Gulrux Ixtiyorovna darajali qatorlar yordamida differengial tenglamalarga qoeilgan masalalarni echish

1.2.8-misol. tenglamaning integral chiziqlarini, izoklina yordamida chizing.

Yechish. Integral chiziqlarining harakat yo’nalishlarini aniqlaymiz:

Agar bo’lsa, y<2x bo’ladi.

Bu shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlar Yuqoriga qarab yo’naladilar.

Agar bo’lsa, y>2x bo’ladi. Bu sohada integral chiziqlar pastga qarab yo’naladilar. Izoklinalar oilasining tenglamasini tuzamiz:

bundan y=2x-k.

k=0 bo’lsin. U holda

y=2x ga ega bo’lamiz.

Bundan y=2x.

y=2x to’g’ri chizig’ida integral chiziqlarning minimum nuqtalari yotadi.Integral chiziqlar maksimum nuqtaga ega emas. Chunki x va y ning ko’rilayotgan sohadagi hamma qiymatlari uchun

k=1bo’lsin. U holda y=2x-1 ga ega bo’lamiz. Integral chiziqlar bu to’g’ri chiziq bilan 45⁰ burchak ostida kesishadilar.

k=-1bo’lsin. U holda y=2x+1 ga ega bo’lamiz. Integral chiziqlar bu to’g’ri chiziq bilan 135⁰ burchak ostida kesishadi.

k=2bo’lsin. U holda y=2x-2 ga ega bo’lamiz. Bu berilgan tenglamani yechimi bo’ladi.

Haqiqatan ham

y'=2 ,

tenglamaning integral chiziqlari bu integral chiziq bilan kesishmaydi.Endi bukilish nuqtalarining geometrik o’rnini aniqlaymiz.Buning uchun berilgan tenglamadan

y''=2-y'=2-2x+y=0

bundan

y=2x-2

Bu bukilish nuqtalarining geometrik o’rni.

y>2x-2 shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari botiq,

y<2x-2

shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari qavariq bo’ladi.Bu ma’lumotlarga ko’ra, integral chiziqlarni chizish mumkin.

Koshi masalasi.

tenglama uchun Koshi masalasi deb, x=x₀bo’lganda shartini qanoatlantiruvchi yechimni topishga aytiladi. Boshqacha aytganda, tenglamaning shunday yechimini topish kerakkim, f nuqtasidan o’tsin.Koshi masalasini yechish uchun, dastavval berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi topiladi so’ngra boshlangich shartlar yordamida parametr c ning qiymati aniqlanadi.

yechimdagi c o’rniga  qo’ysak Koshi shartini qanoatlantiruvchi

yechimga ega bo’lamiz.

1.2.9-ta’rif. (1.2.4) differensial tenglamaning Koshi masalasini qanoatlantiruvchi y=y(x) yechimi xususiy yechim deyiladi. Ya’ni, boshqacha qilib aytganda, barcha nuqtalarida yagonalik sharti bajaraladigan yechim xususiy yechim deyiladi.

1.2.10-ta’rif. Barcha nuqtalarida yechimning yagonalik sharti buziladigan yechim maxsus yechim deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, (1.2.4) differensial tenglamaning (1.2.5) munosabat o‘z ichiga olmagan yechimlari maxsus yechimlar deb ataladi. Differensial tenglama nazariyasida differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy masala hisoblanadi. Agar differensial tenglamaning yechimini elementar funksiyalar va ularning integrallari yordamida yozish mumkin bo‘lsa, u holda differensial tenglama kvadraturalarda integrallandi deyiladi.Differensial tenglamaga keltiriladigan ba’zi bir masalalarni qaraymiz.