I-bob birinchi tartibli differensial tenglamalar 1-Ma’ruza mashg’ulot

Masala. 1. Bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasi tuzilsin.

Yechish.Ma’lumki bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasining umumiy tenglamasi

(9)

dan iborat. Bunda  - parametr bo’lib, F funksiya  larga nisbatan uzluksiz differensialanuvchi funksiya (9) dan

(10)

hosilani olamiz. (9) va (10) dan parametr  ni yo’qotsak izlanayotgan

differensial tenglamaga ega bo’lamiz.

Misol 2.Markazi absissa o’qida bo’lib, ordinata o’qiga urinuvchi aylanalar oilasining differensial tenglamasi tuzilsin.

u

x

Ma’lumki bunday aylanalar oilasining tenglamasi dan iboratdir, yoki ochib yozsak

(11)

ga ega bo’lib, bundan

(12)

(11) va (12) dan

yoki

Bu izlanayotgan differensial tenglamadir.Bu tenglamaning yechimi (11) dan iborat.

Masala3.Suyuqlikning idishdan oqib chiqishi uchun ketgan vaqtni aniqlash. Idishning ko’ndalang kesim yuzi  bo’lsin va u idishdagi suyuqlik balandligi h ning funksiya bo’lsin 

Idish ichidagi suyuqlik idish ostida, ko’ndalang kesim yuzi bo’lgan jumrakdan oqib chiqadi.

B
izga idish ichidagi suyuqlikning  dan  ga kelguncha ketgan vaqt  ni va suyuqlikning to’la

o
qib chiqish uchun ketgan T vaqtni aniqlash talab etilsin.

Idishdagi suyuqlik miqdorning o’zgarish tezligi ham idishdagi suyuqlik balandiligi  -ning funksiya bo’lsin . dt vaqt ichida idishdan oqib chiqqan suyuqlik miqdori silindir shaklida bo’lib, bu silindrning balandiligi dt va asosi dan iborat bo’lgani uchun, oqib chiqqan suyuklik miqdori

(13)

dan iborat bo’ladi. Ikkinchi tomonidan bu oqib chiqqan suyuqlik miqdorini boshqacha ham hisoblash mumkin.

 vaqt ichida idishdagi suyuklik satxi  ga kamayadi.

U holda bu suyuqlik miqdori

(14)

dan iborat

(13) va (14) ga asosan

yoki

(15)

differensial tenglamaga ega bo’lamiz (15) ni integrallasak

Agar idish ostidagi jumrakning ko’ndalang kesim yuzi kichik bo’lsa, Torichelli qonuniga asosan, idishdan suyuqlikning oqib chiqish tezligi

formula bilan aniqlanadi.

Bunda - suyuqlikning yopishqoqligiga, idish formasiga va boshqalarga bog’liq bo’lib suv uchun =0,6 ga teng.

U holda Yuqoridagi formulalar.

ko’rinishga keladi.

Misol 4. Gorizontal holdagi silindrik bakning uzunligi 6 metr, diametri 4 metr. Bu bak ichidagi suyuklik radiusi metrli jumrakdan necha minutda oqib chikadi.

bo’lsin