Matematika va Informatika



Download 84,85 Kb.
bet3/14
Sana31.08.2021
Hajmi84,85 Kb.
#160402
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Bog'liq
Narzullayev Azamat Mustaqil ish

Ta‘rif. Istalgan s> 0 son uchun shunday S> 0 son mavjud bo’lsak |x -a|

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b| <s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x a dagi) limiti deb ataladi.

Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a — , a + ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (b — s, b + s) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

2-misol:

=2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang

Yechish: f(x)= funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida masalan (4;6) intervalda qaraylik.

Ixtiyoriy s>0 sonni olib

|f (x) - b|

= = = =

x>4 ekanini hisobga olsak =x>4 bo’lib

< kelib chiqadi. Bundan ko’rinib turibdiki = 4s deb olsak, u holda 0 <| x - 5 |< tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x (4;6) uchun

< tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni = funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta’rif: Istalgancha katta M>0 sonni olsak = >M tenksizlik < bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar

deb olinsa, < tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun > M yoki >M tengsizlik bajariladi. Bu esa x funksiya cheksizlikga intilishini bildiradi ya’ni

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta’rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta

qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)-b< tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x dagi limiti deb ataladi va bu

kabi yoziladi.

3-misol:



Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan >0 sonni olsak

bo’lib N= desak, barcha uchun < = tenksizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f(x)= funksiyaning x dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

T a’rif. Agar f (x) funksiya хning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x) >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x da cheksizlikka

intiladi deyiladi va kabi yoziladi.

4-misol.

ekani isbotlansin.

Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib >M tengsizlikni tuzamiz. bundan kelib chiqadi. N= deb olinsa, >N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun =M tengsizlik bajariladi. Bu ekanini bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi



Teorema. Agar f (x) funksiyaning a nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda y= f (x) funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isbot: chekli son bo’lsin. U holda limitni ta’rifiga binoan istalgan son uchun shunday > 0 son topilib

(a - , a + ) intervaldagi barcha x lar uchun |f (x) – b| < yoki

|f (x)| - b| < | f (x) - Ь <s , bundan

|f (x)| < |b + bo’lishi kelib chiqadi.

Agar M = | b | + deb olinsa a nuqtaning -atrofidagi barcha x lar uchun |f (x)| <M tengsizlik bajariladi. Bu f(x) funksiya (a - , a + ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.

Agar f(x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini takidlab o’tamiz.
Bir tomonlama limitlar

Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limitining ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x a - 0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va yoki yoki =f(a-0) kabi yoziladi.

Agar a=0 bo’lsa, u holda =f(-0) kabi yoziladi.
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limiti ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2 limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x a +0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi va b2 = yoki b2 = , yoki =f(a+0) kabi yoziladi.


lim f (x) = f (+0) kabi yoziladi.

x—+0




Agar a=0 bo’lsa, u holda

f(x) funksiyaning x=a nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. = bo’lsa, u holda f(x) funksiya x=a nuqtada limitga ega.

Aksincha, f (x) funksiyaning a nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega bo’ladi.





1,

agar

x > 0

bo' Is a,

f (x) = signx = •

0,

agar

x=0

bo' Is a,




-1,

agar

x < 0

Bo’ Is a



Masalan,

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (-0) =-1, f (+0) =1 va f (-0) f (+0) (86-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.


Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.

Bunda isbot faqatgina x a hol uchun o’tkaziladi (x da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, x a ni ham, x да ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni
lim( (x) + u2 (x) +... + un (x)) = lim (x) + limu2 (x) +... + lim un (x)

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. Lim u1(x) = a, lim u2(x) = b bo’lsin. U holda lim(u(x) + u2(x)) = a + b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan = a + a, u2 = b + 0 deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi а, -cheksiz kichik funksiyalar.

D













emak, +
u2=(a + a)+(b + 0) = (a+b)+(a+0). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, а,b- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak

lim(u +u2)=a +b=lim +lim ekanligi kelib chiqadi.

1-misol: = =
2-misol: = =

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim( (x) • (x) •... • (x)) = lim (x) • lim u2 (x)... lim (x)
Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. lim =a, limu2=b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan = a + a, u2 = b + 0 bo’ladi, -cheksiz kichik funksiyalar. Demak, • u2 = (a + )(b + ) = ab + ( b + + ). Bu tenglikdagi ab- o’zgarmas son, (ab + + )- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak lim u2= ab= lim limu2 ekanligi kelib chiqadi.

3-misol:


= =(2+3)(2-4)=5


4-misol:

= = =(1-0)(2+0)=2

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqazish mumkin, ya’ni lim C • u(x) = C lim u(x) chunki lim C = C.

5-misol.



Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv 0 bo’lsa,

lim = bo’ladi.


Isbot. Lim u(x) =a, limv(x)=b 0 bo’lsin. U holda u=a+ , v=b+ bo’lishini hisobga olsak


+
= +

Tenglikga ega bo’lamiz, bunda o’zgarmas son



cheksiz kichik funksiya chunki cheksiz kichik funksiya va b(b+

So’ngi tengsizlikga 16.5-teoremani 2-qismni qo’lasak



lim = tenglik hosil bo’ladi.

6-misol:

ni toping.

Yechish: =7 . Shuning uchun: = = = =1



7-misol:

ni toping.

Yechish: bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.

Suratning limiti

bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini topamiz. = = = =0

Bundan = kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz katta funksiya bo’ladi.

Teorema: Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun y=f(x) va ( b chekli son) bo’lsa u holda b


Download 84,85 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish