Alisher navoiy nomidagi

;

3

3

;

2

2

  

;

4

1

3

)

1

4

2

2

8

3

1

2

5

3

5

;

3

)

6

7

)(

5

(

 

)

3

3

3

5

4

3

3

5

3

3

3

3

2









±

−

+

−

−

+

−

+

+

+

+

+

+

−

+

+

+

+

−

+

−

+

−

+

+

i

-

j)  

i

i

i

i)

(

i)

h) (

i)

(

i)

(

g)

z-i

i)

-

-i)(

(

f

;

i

i)

i)(

(

e) 

;

i)

(

i)

i)(

(

d)  

;

i

i)

i)(

(

с) 

i

i

i

b

i);

i)(

(

i)

i)(

 a)    (

  

4. Kompleks sonning haqiqiy qismini toping: 

a) 

19

3

)

2

1

(

i

i

i

z

+

+

=

;                 b) 

i

i

i

i

i

z

1

3

4

4

3

5

2

2

5

+

+

−

−

−

+

=

. 

5. Kompleks sonning mavhum qismini toping: 

a) 

i)

(

i)

(

z

11

2

2

3

+

−

=

                b) 

6

4

1

3

2

i

i

i

z

+

+

−

=

. 

6. Tenglikni isbotlang: 

  

)

(

2

1

1

);

(

2

)

1

(

    

a)

2

4

4

8

Z

Z

∈

−

=

+

∈

=

+

n

)

(

i)

b)    (

n

i

n

n

n

n

n

. 

7. Tenglamalar sistemasini yeching: 

 







−

−

=

−

−

−

=

+

−







−

=

+

−

−

=

−

−







+

=

+

+

+

=

+

+

i

z

z

i

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

z

i

i

z

i

iz

i

z

i

iz

2

1

5

)

2

4

(

)

2

(

2

   

c)

;

 

3

)

3

3

(

2

3

)

1

(

 

b)

  

;

    

3

5

)

2

3

(

2

2

2

)

1

(

    

a)

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

 

 

8. Hisoblang: 

a) i 

4 

+ i 

14 

+ i 

24 

+ i 

34 

+ i 

44

;  b) i + i 

2 

+ i 

3 

+…+ i 

n

, n > 4;   

c) i

⋅

i 

2

⋅

i 

3

⋅

i 

4

…i 

50

. 

9. 

2

3

2

1

i

+

−

=

ω

 bo’lganda quyidagilarni hisoblang: 

a) 

)

)(

(

2

2

ω

ω

ω

ω

c

b

a

c

b

a

+

+

+

+

; b) 

)

)(

)(

(

2

ω

ω

b

a

b

a

b

a

+

+

+

;  

c)

3

2

3

2

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

c

b

a

c

b

a

+

+

+

+

+

.  

10. Tenglamani yeching: 

a) 

i

i

iz

i

z

i

7

1

)

4

3

)(

1

(

)

2

1

)(

(

+

=

−

−

+

+

−

;   b) 

0

2

=

+

z

z

;  

c) 

i

iz

z

i

−

=

−

−

2

3

)

1

(

;                       d) 

i

z

z

z

z

3

4

)

(

3

+

=

−

+

; 

e) 

7

)

(

3

=

+

+

z

z

z

z

;                          f) 

i

z

z

z

z

3

)

(

3

=

+

+

. 

11. Hisoblang: 

a) 

i

2

;  b) 

i

8

−

;  c) 

i

4

3

−

; d) 

i

8

15

+

−

; e) 

i

60

11

+

−

;  

f) 

i

6

8

−

−

;  q) 

i

3

2

−

; h) 

3

1 i

−

; i) 

4

12

2 i

−

; j) 

4

1

−

. 

12. Tenglamani yeching: 

a) 

0

)

7

1

(

)

2

(

2

=

+

−

+

+

−

i

x

i

x

;        b) 

0

)

5

5

(

)

2

3

(

2

=

−

+

−

−

i

x

i

x

; 

 

8

c) 

0

)

2

2

(

)

5

(

)

2

(

2

=

−

+

−

−

+

i

x

i

x

i

;   d) 

0

25

6

2

4

=

+

−

x

x

;   

e) 

0

289

34

2

4

=

+

+

x

x

;                 f) 

0

5

1

)

3

4

(

2

=

+

+

+

−

i

x

i

x

;    

g) 

0

9

5

2

=

+

+

x

x

;                      h) 

0

1

2

=

+

+

+

i

x

x

. 

 

2-§. Kompleks sonning geometrik tasviri va  

trigonometrik shakli 

 

 

Tekislikdagi  nuqtalar bilan  kompleks  sonlar  o’rtasida  o’zaro  bir  qiymatli 

moslik  o’rnatamiz.  Buning  uchun  tekislikda  biror  to’g’ri  burchakga  Dekart 

koordinatalar  sistemasi  kiritamiz.  Natijada,  tekislikdagi  har bir  nuqtaga  haqiqiy 

sonlarning 

( )

b

а,

 tartiblangan juftligi, ya’ni 

( )

C

∈

b

a  

,

 element mos qo’yiladi va 

aksincha har bir 

( )

b

a,

 kompleks songa tekislikdagi koordinatalari a va b ga teng 

nuqta mos keladi. Shu munosabat bilan tekislikning o’zini kompleks deb ataladi. 

Bunda  haqiqiy  sonlarga 

( )

о

a,

  ko’rinishdagi,  ya’ni  abssissalar  o’qida  yotuvchi 

nuqtalar  mos  keladi.  Ordinatalar  o’qidagi  nuqtalarga  esa 

( )

b

o,

  mavhum  sonlar 

mos keladi. Shuning uchun kompleks tekislikning abssissalar o’qini haqiqiy o’q, 

ordinatalar o’qini esa mavhum o’q deb ataladi.  

 

Odatda,  z  =  (a,  b)  kompleks  son  tekislikdagi  koordinatalari  a  va  b 

sonlardan iborat nuqta orqali yoki abssissa va ordinatalar o’qidagi proyeksiyalari 

mos  ravishda  a  va  b  ga  teng  bo’lgan  vektor  orqali  tasvirlanadi.  Ko’pincha  z 

nuqta  yoki  z  vektor  ham  deb  aytiladi.  Kompleks  son  z  =  a  +  bi  ning  absolyut 

qiymati  deb 

2

2

b

a

z

z

+

=

=

  haqiqiy  songa  aytiladi.  Absissalar  o’qining 

musbat  yo’nalishi  va  z  vektorning  yo’nalishi  orasidagi 

ϕ

  burchak  z  kompleks 

sonning  argumenti  deyiladi  va  arp  z  orqali  belgilanadi.  0  sonning  argumenti 

aniqlanmagan. 

Ixtiyoriy  noldan  farqli  z  =  (a,b)  kompleks  sonni  va  tekislikda  unga  mos 

keluvchi  vektorni  qaraymiz.  z  nuqtaning  tekislikdagi  holatini  uning  qutb 

koordinatalari: koordinatalar boshidan z nuqtagacha bo’lgan masofa r,  ya’ni 

z

 

va absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan z vektor yo’nalishi orasidagi 

ϕ

 = arg 

z burchaklar to’liq aniqlaydi.  

 

Agar  z  =  a  +  bi  bo’lsa,  u  holda 

r

b

n

si

r

a

s

co

=

=

ϕ

ϕ

   

,

.  Bundan  har  bir  z 

kompleks  son  uchun 

)

(

ϕ

ϕ

n

si

i

s

co

r

z

+

=

  kelib  chiqadi.  Kompleks  sonning 

bunday ko’rinishi uning trigonometrik shakli deyiladi.  

 

Trigonometrik  shakldagi  kompleks  sonlarni  ko’paytirish  va  bo’lish 

amallari quyidagicha amalga oshiriladi: 

)

(

   

),

(

2

2

2

2

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

n

si

i

s

co

r

z

n

si

i

s

co

r

z

+

=

+

=

 

bo’lsin. U holda  

 

9

.

0

   

)).

(

)

(

(

  

  

)),

(

)

(

(

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

≠

−

+

−

=

+

+

+

=

z

n

si

i

s

co

r

r

z

z

n

si

i

s

co

r

r

z

z

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

 

1-m  i  s  o  l. 

z

 

−

  son  tekislikda  z  ni  tasvirlovchi  nuqtadan  koordinatalar 

boshigacha  bo’lgan  masofadan  iborat.  Boshqacha  aytganda 

z

  son  z  kompleks 

sonni ifodalovchi vektorning uzunligidir. ■ 

 

2-m  i  s  o  l.  Kompleks  tekislikda 

3

=

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  z 

nuqtalar  to’plami  markazi  koordinatalar  boshida  va  radiusi  3  ga  teng  bo’lgan 

aylanadan iborat. ■  

 

3-m  i  s  o  l.  Kompleks  tekislikda 

3

≤

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  z  

nuqtalar  to’plami  markazi  koordinatalar  boshida  va  radiusi  3  ga  teng  bo’lgan 

yopiq dioradan iborat. ■ 

4-m  i s o  l. Kompleks tekislikda 

3

2

1

=

+

−

i

z

shartni qanoatlantiruvchi z 

nuqtalar to’plami markazi (1,

−

2) nuqtada va radiusi 3 ga teng bo’lgan aylanadan 

iborat. ■ 

 

5-m i s o l. Kompleks tekislikda 

3

2

1

≤

+

−

i

z

 shartni qanoatlantiruvchi z 

nuqtalar to’plami markazi (1,

−

2) nuqtada va radiusi 3 ga teng bo’lgan aylanadan 

iborat. ■  

 

6-m  i  s  o  l. 

C

∈

2

1

z

z ,

  bo’lsin.  Tekislikda  z

1

  va  z

2

  sonlarni  ifodalovchi 

nuqtalar  orasidagi  masofa 

2

1

z

z

−

  ga  teng  (ayirmaning  absolyut  qiymati 

haqidagi teorema). ■ 

 

7-m  i  s  o  l.  Uchlari  o,  z

1, 

z

2

  nuqtalarda  joylashgan  uchburchakning 

tomonlarini  taqqoslab,  yig’indining  absolyut  qiymati  haqidagi  teoremaga  ega 

bo’lamiz: 

2

1

2

1

2

1

z

z

z

z

z

z

+

≤

+

≤

−

. ■ 

Bu teoremadan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.  

 

8-m i s o l. Barcha 

C

∈

n

z

z

z

,....,

,

2

1

 sonlar uchun  

n

n

n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

≤

+

+

+

≤

−

−

−

...

....

...

2

1

2

1

2

1

. ■ 

 

9-m  i  s  o  l.  Tekislikda 

4

<

+

+

−

i

z

i

z

  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 

kompleks sonlarni tasvirlaydigan nuqtalar to’plamini aniqlang. 

 

Yechish. z = x + iy,   x, y 

∈

 R bo’lsin. U holda 

4

<

+

+

+

−

+

i

yi

x

i

yi

x

. 

Bundan 

2

2

2

2

)

1

(

)

1

(

+

+

+

−

+

y

x

y

x

< 4. 

 

Bu tengsizlikni soddalashtirib, unga teng kuchili bo’lgan  

12

3

4

2

2

<

+

y

x

     yoki     

1

4

3

2

2

<

+

y

x

 

tengsizlikni  hosil  qilamiz.  Shunday  qilib,  izlanayotgan  to’plam  tekislikning 

1

4

3

2

2

<

+

y

x

 ellips bilan chegaralangan qismidan iborat. ■ 

 

10

 

10-m  i  s  o  l.  Kompleks  sonlar 

2

1

<

<

z

, 

4

6

π

π

<

<

z

 

g

ar

  shartlarni 

qanoatlantiradi.  Bunday  kospleks  sonlarni  ifodalovchi  nuqtalar  qayerda 

joylashgan? 

 

 Yechish. 

2

1

<

<

z

 bo’lganligi uchun, bu  nuqtalar markazi O  nuqtada  va 

radiuslari 1 va 2 ga teng bo’lgan aylanalar bilan chegaralangan halqada yotadi.                                                

                                                                                           

                                                          

y 

  

 

 

 

 

 

 

     

                                                2                

4

π

 

 

 

                                                

 

 

 

 

    

 

       1                       

6

π

 

                                                    

 

 

                                                                        

                                                                               x                                                       

         0                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   1-rasm  

4

6

π

π

<

<

z

 

g

ar

  bo’lganligi  uchun  masala  shartini  qanoatlantiruvchi  nuqtalar  1-

rasmda ko’rsatilgan soha ichida yotadi. ■ 

 

11-m  i  s  o  l. 

15

25

≤

−

i

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  kompleks  sonlar 

ichidan argumenti eng kichik bo’lgan sonni toping. 

 

Yechish. 

15

25

≤

−

i

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  sonlarga  mos  nuqtalar