9 3-§. Фазода аффин координаталар системасини алмаштириш

2-§. Аффин координаталар системасини алмаштириш.
Ёъналишли текисликдаги икки вектор орасидаги бурчак.
Текисликда нол бўлмаган иккита ва векторлар берилган бўлса, бу векторларни О нуқтага кўчириб ни ҳосил қиламиз, бу йерда . Ҳосил бўлган ва нурлар орасида бурчак ва векторлар орасидаги бурчак дейилади (24-чизма) ва кўринишида белгиланади.
Ихтиёрий иккита вектор учун Ориентатсияланган текисликда ёъналишга эга бўлган бурчак тушунчасини киритайлик.
Текисликда ва нол бўлмаган векторлар берилган бўлсин, агар бу векторларни тартибласак, яъни векторни биринчи векторни иккинчи деб олсак , у ҳолда ва векторлар орасидаги бурчак ёъналган бурчак деб айтилади ва кўринишида ёзилади.
Агар , векторлар ўнг базисни ташкил қилса, у ҳолда >0 бўлади, чап базисни ташкил қилса - бўлади.
Агар бўлса, =0, агар бўлса .
Шундай қилиб, векторлар учун .
2 5-чизмада , векторлар ўнг базисни , векторлар чап базисни ташкил қилади. =30⁰, =-90⁰ (25-чизма).
Ваҳоланки, =-
син =-син
cос =cос
Аффин координаталар системасини алмаштириш.
Гометрик образларни соддалаштириш учун кўпинча бир координаталар системасидан бошқа координаталар системасига ўтишга тўғри келади. Бу эса бир нуқтанинг ҳар хил системадаги координаталарини боғловчи формулаларни топиш масаласини келтириб чиқаради.
Текисликда иккита ва ( ) аффин координаталар системаси берилган бўлсин (27-чизма).
Қулайлик учун биринчисини эски, икинчисини янги аффин координаталар системаси деб оламиз. Бундан ташқари, янги координаталар системасининг вазияти эски координаталар системасига нисбатан берилган бўлсин.
(14.1)
Таърифга кўра ушбуни ёза оламиз.
(14.2)
Бизнинг мақсадимиз Н нуқтанинг эски координаталар системасидаги координаталарини, шу нуқтанинг янги координаталар системасидаги координаталари орқали ифодалашдир.
Векторларни қўшишдаги учбурчак қоидасига асосан
(26 - чизма).
Бундан, .
(14.2) дан фойдаланиб,
га эга бўламиз. ва векторлар коллинеар эмаслигидан фойдаланиб қуйидаги
(14.3)
формулани ёзамиз. (14.3) формулани аффин координаталар системасини алмаштириш формуласи дейилади. Бу формуланинг чап томонининг коеффитсиентларидан қуйидаги
(14.4)
матритсани тузайлик. Cъ матритса C матритсани транспонирлаш натижасида ҳосил қилинган бўлиб, (14.5)
чунки ва векторлар базис векторлар.
(14.3) ни ҳамма вақт хъ, йъ ларга нисбатан йечиш мумкин. Бу эса Н нуқтанинг янги координаталар системасидаги хъ, йъ координаталарини шу нуқтанинг эски системасидаги х, у координаталари орқали ифодалаш мумкинлигини кўрсатади.
Қуйидаги хусусий ҳолни қараймиз:
1. бундан , бўлади. Бу топилган қийматларни (14.3) формулага қўйиб (28-чизма)
(14.6)
координаталар системасини параллел кўчириш формуласига эга бўламиз.

1. 
   бўлиб, базис векторлар турлича бўлсин (29-чизма), у ҳолда бўлиб,
   

(14.7)
формулага эга бўламиз. га системасидаги . ранспонирлаш натижасида тузилган матрица и дейилади.
Тўғри бурчакли декарт координаталар системасини алмаштириш.
Енди декарт координаталар системасини алмаштиришга тўхтаймиз. Бир тўғри бурчакли декарт координаталар системасидан иккинчи декарт координаталар системасига ўтишда (14.3) формуладан фойдаланамиз, лекин ўтиш матритсасининг ( ) элементларига қўшимча шартлар қўйилади.
Текисликда - эски - янги декарт координаталар системаси бўлсин.
(15.1)
бўлсин, бу йерда икки ҳол ўринли бўлади.

1. 
   Ески ва янги координаталар системаси бир хил ёъналишга эга (30-чизма).
   

(6.6) тенгликни навбат билан ва векторларга скаляр кўпайтириб қуйидагиларга эга бўламиз.

топилган қийматларни (14.3) га қўйиб,
(15.2)
Ёъналишлари бир хил бўлган декарт координаталар системасини алмаштириш формуласига эга бўламиз.

2. 
   Ески ва янги координаталар системаси турли ёъналишга эга бўлсин. (31-чизма).
   

Буни эътиборга олиб, (15.1 6.6) ни ва векторларга навбати билан кўпайтирсак, ушбуга эга бўламиз.
Топилган қийматларни (6.4) га қўйиб,
(15.3)
Ёъналишлари ҳар хил бўлган декарт координаталар системасини алмаштириш формуласига эга бўламиз.

2. 
   ва (15.3) формулаларни битта
   

(15.4)
формулага бирлаштириш мумкин, бу йерда , ёъналишлар бир хил бўлса , агар ҳар хил бўлса га тенг.
Агар (15.5) да х₀=й₀=0 бўлса , у ҳолда
(15.5)
формулани декарт координаталар системасини О нуқта атрофида буриш формуласи дейилади.
Мавзуга доир йечимлари билан берилган топшириқлардан намуналар
1. Ушбу ИИ тартибли тенгламалар билан берилган чизиқлар кўринишини аниқланг:
1)
2)
Йечиш: 1) Тенгламани кўринишини ўзгартирамиз:





.
Демак, берилган тенглама маркази нуқтада жойлашган ва радиуси бўлган айланани ифодалайди.
2. Берилган тенгламани кўринишини ўзгартирамиз:





+25

Демак, берилган тенглама маркази нуқтада жойлашган ва ярим ўқлари бўлган эллипсни ифодалайди.

3. Чизиқнинг ушбу тенгламаси берилган:

.
Агар нуқтани янги системанинг боши деб фараз қилиб, янги ўқлар учун координата бурчакларининг биссектрисаларига параллел бўлган чизиқлар қабул қилинса, тенгламанинг кўриниши қандай бўлади?
Йечиш: Бу масалада янги система бошининг эски системага нисбатан координаталари ва иккала системанинг абсисса ўқлари орасидаги бурчак бўлади. Шунинг учун ушбу

формуладан фойдаланамиз.

ёки буларни берилган тенгламага қўйсак,
бўлади. Буни соддалаштириб,
ёки ни ҳосил қиламиз.