Determinantlar va ularni hisoblash

1.5. Matritsalar. Matritsial ustida amallar.

Ta’rif:   m × n o’lchamli matritsa deb, a_ij,  ,    sonlardan tuzilgan m ta satr, n ta ustunli quyidagi:

(1)   A=         yoki     A=

jadvalga aytiladi. A matrisani qisqacha A=||a_ij||  ;    ham yozish mumkin.

     a_ij larga matrisaning elementlari deyiladi.

Agar m × n  bo’lsa, (1) ga to’g’ri burchakli yoki o’rta matritsa deyiladi. Agar m=n bo’lsa, (1) ga kvadrat matritsa deyilib, uning o’lchami n × n  bo’ladi.

yo’l matritsa

- kvadrat matritsa       -ustun matritsa     -

 

Matritsa faqat jadval bo’lib, u biror sonni ifodalamaydi. Matritsaga katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi. Matritsalar odatda lotin alifbosining katta harflari bilan belgilanadi.

Kvadrat matritsalar uchun uning elementlaridan tuzilgan determinant quyidagicha bo’ladi.

A= ,         det A=|A|=

Barcha elementlari nol bo’lgan matritsa nol matritsa deyiladi. Bosh diagonal elementlaridan boshqa hamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi. Bosh diagonal elemenlari bir bo’lib, boshqa barcha matitsa elementlari 0 bo’lgan kvadrat matritsaga birlik matritsa deiladi va u odatda E harfi bilan belgilanadi.

                E=     ,    |E|=1 .

 

Har qanday A va B matritsalarning A=B bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart.

Ta’rif:  Biror A matritsani k songa ko’paytirish deb, A matritsaning hmma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matritsaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi:

             kA=Ak=

Ta’rif: Agar A va B matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi deb, shunday C matrit-saga aytiladiki, bu C matritsaning elementlari A va B matritsalarning mos elementlarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.

                     A= ,         B=          ­

                bunda m=p; n=q,

                    C=A+B= +

 

 

Misol.

    

Berilgan matritsalarni ko’paytirish uchun A matritsaning ustunlar soni n, B matritsaning yo’llar soni p ga teng, ya’ni n=p bo’lishi shart. Aks holda AB ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matritsani ko’paytirganda hosil bo’lgan matritsaning yo’llar soni ko’payuvchi matritsaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’payuvchi matritsaning ustunlar soniga teng bo’ladi.

                               

                              A_m×n ×B_p×q=C_mq

                              C=A×B=

Ikkita matritsaning ko’paytmasi yana matritsa bo’lib, uning C_ij elementi A matritsaning i-yo’lida-gi hamma elementlarini B matritsaning j-ustundagi mos elementlariga ko’paytmalarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.

                        C_ij=a_ijb_ij+a_i2b_2j+…+a_inb_nj=                                    ; 

 

Misol:

             .

A va B matritsalar uchun A·B≠BA ya’ni matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik kassasi o’rinli emas:

Misol : 

                A=                              B=

A×B= × =

                                                        B×A

 

              Ko’rinib turibdiki A·B±B·A .

 

Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi:

1) (BA) ·B=A· (AB) =A (AB)      A-son

2) (A+B) ·C= A·C+B·C

3) C (A+B) = CA+CB

4) A (B·C) = (A·B) C

         Xossalari o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.

Agar A va B n×n o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda

          1º     det (AB) =detA · detB

          2º     det (λA) = λⁿdetA.                 munosabatlar o’rinli bo’ladi.