4. Pozitsion sanoq sistemalarida sonlar ustida amallar.
4-topshiriq: Hisoblang va natijani o’nli sanoq sistemasida yozing.
3245 ∙ 425 + 2135
Beshlik sanoq sistemasida qo’shish va kopaytirish jadvalini tuzamiz.
*
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
2
|
0
|
2
|
4
|
11
|
13
|
3
|
0
|
3
|
11
|
14
|
22
|
4
|
0
|
4
|
13
|
22
|
31
|
+
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
10
|
2
|
2
|
3
|
4
|
10
|
11
|
3
|
3
|
4
|
10
|
11
|
12
|
4
|
4
|
10
|
11
|
12
|
13
|
Bu jadvaldan foydalanib hisoblaymiz.
Endi 310315 sonining 10 lik sanoq sistemadagi yozuvini topamiz. 310315=3∙54+1∙53+0∙52+3∙5+1=3∙625+
+125+15+1=1875+125+16=2016
5. Sonlarning bo’linishi.
5-topshiriq: Amallarni bajarmasdan quyidagi ifodalarni 6 ga bo’linish yoki bo’linmasligini ko’rsating:
а) 546+174+390
b) 546+174+380
c) 546+176+380
Yechish: Murakkab songa bo’linish belgisidan foydalanamiz.Bu uchun 6 sonini 2 va 3 tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz.Demak, son 6 ga bo’linishi uchun 2 va 3 ga bo’linishi etarli.
а) 546 6, chunki 546 2 (oxirgi raqami juft son bo’lgani uchun). 546 3 (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’lingani uchun)
174 6 va 390 6 (xuddi yuqoridagi shartlarga ko’ra)
Demak: (546+174+390) 6
b)546 va 174 (а punktga asosan ) 6 ga bo’linadi.
380 soni 6 ga bo’linmaydi, chunki 380 soni 2 ga bo’linsa ham, 3 raqamiga bo’linmaydi. (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’linmaydi).
Demak, 546+174+380 yig’indi ham 6 ga bo’linmaydi.
c) Berilgan yig’indida 546 6 (a punktga asosan)176va 380 sonlari esa 6 ga bo’linmaydi. Qo’shiluvchilardan bittasi 6 ga bo’linadi, ikkitasi esa bo’linmaydi bu holatda yig’indini topmasdan turib, uning 6ga bo’linish yoki bo’linmasligi to’g’risida hech narsa aytish mumkin emas.
6. Natural sonlar bo’linishini matematik induksiya metodi yordamida isbotlash.
6-topshiriq: n ning har qanday natural qiymatlarida n5-n ifoda 30 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish:
n5-n=n(n4-1)=n(n2-1)(n2+1)=(n-1)∙n∙(n+1)(n2+1)
Endi 30 ni tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz:
30=2∙3∙5
Agar n5-n soni 2 ga, 3ga va 5 ga bo’linishini isbotlasak,unda bu son 30 ga bo’linishini isbotlagan bo’lamiz.
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)
2ga bo’linadi, chunki ikkita ketma-ket kelgan natural sonlardan albatta bittasi juft demak bu son 2 ga bo’linadi.
3ga bo’linadi, chunki uchta ketma-ket kelgan natural sonlardan bittasi albatta 3ga bo’linadi.
Endi (n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1) ifodaning 5ga bo’linishini isbotlash qoldi. Natural sonlar to’plamini 5 ga qoldiqli bo’lish nuqtai nazaridan 5 ta sinfga ajratamiz:
1)5q shaklidagi sonlar, ya'ni 5 ga karrali sonlar.
2)5q+1 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 1 qoldiq qoladigan sonlar.
3)5q+2 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 2 qoldiq qoladigan sonlar.
4)5q+3 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 3 qoldiq qoladigan sonlar.
5)5q+4 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 4 qoldiq qoladigan sonlar.
n=5q bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)=(5q-1)5q(5q+1)∙(25q2+1)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.
n=5q+1 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)=5q(5q+1)(5q+2)∙(25q2+10q+2)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.
n=5q+2 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)=(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙(25q2+20q+5)= =(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙5(5q2+4q+1)
bunda ham ko’paytuvchilardan biri 5 ga bo’linadi, demak, ko’paytma ham 5 ga bo’linadi.
n=5q+3 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)=(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙(25q2+30q+10)=
(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙5(5q2+6q+2)
bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.
n=5q+4 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n2+1)=(5q+3)∙(5q+4)∙(5q+5)∙(25q2+40q+17)=
(5q+3)∙(5q+4)∙5(q+1)∙(25q2+40q+17) bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.
Demak, n5-n 2ga, 3ga va 5ga bo’lingani uchun ifoda 30 ga bo’linadi.
Bu isbotlashni bajarishda to’la induktsiya metodidan foydalanildi.
Do'stlaringiz bilan baham: |