Binominal taqsimot. Guruh: 022-18 Bajardi: Xaydarov Ikrom

Tasodifiy o'zgaruvchining binomial taqsimoti

Keling, vaziyatni boshqa tomondan ko'rib chiqamiz. Darhaqiqat, o'rtacha bir boshga bir boshga tushish 0,5 ga teng ekanligi kimni qiziqtiradi? Hatto tasavvur ham qilib bo'lmaydi. Berilgan miqdordagi otish uchun tushadigan boshlar soni to'g'risida savol tug'dirish qiziqroq.

Boshqacha qilib aytganda, tadqiqotchini ko'pincha ma'lum miqdordagi muvaffaqiyatli hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli qiziqtiradi. Bu sinovdan o'tgan partiyadagi nuqsonli mahsulotlar soni (1 - nuqsonli, 0 - yaxshi) yoki tiklanishlar soni (1 - sog'lom, 0 - kasal) va boshqalar. Bunday "muvaffaqiyatlar" soni o'zgaruvchining barcha qiymatlari yig'indisiga teng bo'ladi X, ya'ni yagona natijalar soni.

Tasodifiy qiymat B binomial deb nomlanadi va 0 dan to qiymatlarni qabul qiladi n (da B \u003d 0 - barcha qismlar mos keladi B = n - barcha qismlar nuqsonli). Barcha qiymatlar qabul qilinadi x o'zaro mustaqil. Binomial o'zgaruvchining asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz, ya'ni uning matematik kutilishini, dispersiyasini va taqsimlanishini o'rnatamiz.

Binomial o'zgaruvchini kutish juda oson. Miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi har bir qo'shilgan kattalikning matematik kutishlarining yig'indisidir va u hamma uchun bir xildir, shuning uchun:

Masalan, 100 ta uloqtirishga tushgan boshlar sonining matematik kutilishi 100 x 0,5 \u003d 50 ga teng.

Endi binomial o'zgaruvchining dispersiyasi uchun formulani chiqaramiz. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig’indisining dispersiyasi - bu dispersiyalar yig’indisidir. Bu erdan

Tegishli ravishda standart og'ish

100 tanga tashlash uchun boshlar sonining standart og'ishi hisoblanadi

Nihoyat, binomial miqdorning taqsimlanishini ko'rib chiqing, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimoli B turli xil qadriyatlarni qabul qiladi kqayerda 0≤ k ≤n... Tanga uchun bu muammo quyidagicha ko'rinishi mumkin: 100 ta tashlash bilan 40 bosh tushish ehtimoli qancha?

Hisoblash usulini tushunish uchun tanga jami 4 marta tashlanganini tasavvur qiling. Har safar har ikki tomon ham tushib ketishi mumkin. Biz o'zimizga savol beramiz: 4 ta silkishdan 2 ta boshni olish ehtimoli qanday? Har bir rulon bir-biridan mustaqil. Bu shuni anglatadiki, har qanday kombinatsiyani olish ehtimoli har bir individual otish uchun berilgan natijaning ehtimoli mahsulotiga teng bo'ladi. O bosh, P - quyruq bo'lsin. Masalan, bizga mos keladigan kombinatsiyalardan biri OORPga o'xshash bo'lishi mumkin, ya'ni:

Bunday kombinatsiyaning ehtimoli ikkita bosh olish ehtimoli va yana ikkita ehtimollik hosil bo'lishiga teng (teskari hodisa, deb hisoblanadi 1 - p), ya'ni 0,5 × 0,5 × (1-0,5) × (1-0,5) \u003d 0,0625. Bu bizga mos keladigan kombinatsiyalardan birining ehtimoli. Ammo har qanday buyurtma haqida emas, balki burgutlarning umumiy soni haqida gap ketmoqda. Keyin aniq 2 bosh bo'lgan barcha kombinatsiyalarning ehtimolligini qo'shishingiz kerak. Shubhasiz, ularning barchasi bir xil (mahsulot omillar joylarining o'zgarishiga qarab o'zgarmaydi). Shuning uchun siz ularning sonini hisoblashingiz kerak va keyin har qanday bunday kombinatsiyani ehtimolligi bilan ko'paytiring. Keling, har biri 2 boshli 4 ta otish kombinatsiyasining barcha variantlarini sanaylik: ROO, RRO, ROR, ORRO, OROR, ORR. Hammasi bo'lib 6 ta variant mavjud.

Shuning uchun, 4 marta tashlanganidan keyin 2 ta boshni olish ehtimoli 6 × 0,0625 \u003d 0,375 ga teng.

Shu tarzda hisoblash zerikarli. 10 tanga uchun allaqachon qo'pol kuch bilan variantlarning umumiy sonini olish juda qiyin bo'ladi. Shuning uchun, aqlli odamlar uzoq vaqtdan beri turli xil kombinatsiyalar sonini hisoblab chiqadigan formulani ixtiro qildilar n elementlari tomonidan kqayerda n - elementlarning umumiy soni, k - joylashish imkoniyatlari hisoblangan elementlarning soni. Ning kombinatsion formulasi n elementlari tomonidan k bu .. mi:

Shunga o'xshash narsalar kombinatorika bo'limida sodir bo'ladi. O'z bilimlarini oshirmoqchi bo'lganlarning hammasini u erga yuboraman. Demak, aytmoqchi, binomial taqsimotning nomi (yuqoridagi formula Nyuton binomialining kengayish koeffitsienti).

Ehtimollikni aniqlash formulasi istalgan songa osonlikcha umumlashtirilishi mumkin n va k... Natijada binomial taqsimot formulasi quyidagi shaklga ega.

Shartga mos keladigan kombinatsiyalar sonini ulardan bittasi ehtimolligi bilan ko'paytiring.

Amaliy foydalanish uchun binomial taqsimot formulasini bilish kifoya. Yoki siz hatto bilmasligingiz mumkin - quyida Excel yordamida ehtimolni qanday aniqlash mumkin. Ammo bilish yaxshiroqdir.

Keling, ushbu formuladan foydalanib, 100 marta tashlash bilan 40 bosh olish ehtimolini hisoblaymiz:

Yoki faqat 1,08%. Taqqoslash uchun ushbu tajribaning, ya'ni 50 ta burgutning matematik kutishining yuzaga kelish ehtimoli 7,96% ni tashkil qiladi. Binomial qiymatning maksimal ehtimoli matematik kutishga mos keladigan qiymatga tegishli.