|
Differensial progonka usuli
Ikkinchi tartibli oddiy diffrensial tenglama berilgan bo`lsin:
(1.5)
(1.6)
Berilgan tenglamani yechishda differensial progonka usulini bayon qilishdan oldin (1.5) va (1.6) tenglamani yechish masalasi, 2 ta Koshi masalasini yechishga kelish usulini chiqaramiz.
Faraz qilaylik, (1.6) chegaraviy shartlarni parametrlar va shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1.5) tenglamani quyidagi ko`rinishda izlaymiz:
(1.7)
Bu yerda, - noma’lum doimiy koeffitsiyent, funksiya (1.5) tenglamaga mos bo`lgan
(1.8)
bir jinsli tenglamani yechimidan iborat bo`lib, funksiya esa (1.5) tenglamaga mos bo`lgan bir jinslimas
(1.9)
tenglamaning yechimidir. Hosil bo`lgan (1.8) va (1.9) tenglamalar uchun boshlang`ich shartlar (1.7) yechimni nuqtada (1.8) shartni qanoatlantirishdan kelib chiqariladi, ya’ni
(1.10)
Bu yerda, ixtiyoriy doimiy son.
Agar (1.6) shartda bo`lsa, u holda
(1.11)
deb olish mumkin, bo`lsa,
(1.12)
Shunday qilib, (1.5) va (1.6) chegaraviy masala (1.8), (1.10) va (1.9), (1.11) yoki (1.12) Koshi masalalarini yechishga keltiriladi. Koshi masalalari esa qo`llanilmagan oldingi bo`limlarda bayon qilingan usullar bilan yechiladi.
Yuqoridagi (1.7) yechimda soni yechimni (1.6) shartning nuqtadagi ko`rinishidan topiladi, ya`ni
(1.13)
Bundan ko`rinadiki, parametr mavjud bo`lishi uchun shart bajarilishi zarur ekan. Bu holda chegaraviy masala yagona yechimga ega bo`ladi.
Agarda bo`lsa, chegaraviy masala yoki yechimga ega emas yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Bu usul nazariy jihatdan soddaligi uchun juda qulay bo`lib, ko`pgina hollarda katta xatoliklarga ham olib kelishi mumkin. Chunki, (1.8) tenglamaning yechimi ning o`sishi bilan absolyut qiymati bo`yicha o`sa boshlaydi, ayniqsa bu o`sish funksiyaning oraliqda qiymati katta bo`lgan holda juda tez bo`ladi. Shuning uchun sonli usullar yordamida tez o`suvchi yechimni qidirganda kesmaning oxirgi nuqtasida katta xatolikka olib keladi. Bu esa (1.3) formuladan o`zgarmas sonni qo`pollik bilan topishga olib keladi. Bunday qiyinchiliklardan qutulish yo`llaridan biri sifatida differensial progonka usuli tavsiya qilinadi. Bu usulning g`oyasi asosida chegaraviy ikkinchi tartibli differensial tenglamaning yechish masalasi, uchta birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarga Koshi masalalarini yechishga keltiriladi. Faraz qilaylik, (1.3) tenglamaning yechimi va uning birinchi differensiali quyidagicha bog`langan bo`lsin:
(1.14)
Bu yerda, va funksiyalar keyinchalik aniqlanadigan noma’lum funksiyalardir. (1.14) tenglamani yana bir marta differensiallaymiz, ya`ni
va larni (1.3) ga qo`ysak, quyidagi differensial tenglamani hosil qilamiz:
yoki
Bu yerda yechim noldan farqli bo`lganligi uchun quyidagicha yozish mumkin:
(1.15)
(1.16)
Bu tenglamalar uchun boshlang`ich shartni nuqtada (1.6) ifodalarning birinchi tenglamasidan foydalanib topamiz:
yoki
Bu yerdan quyidagilarni yozib olamiz:
(1.17)
Demak,
(1.18)
Shunday qilib, (1.5), (1.6) masala (1.15), (1.16) birinchi tartibli differensial tenglamalarning va (1.17), (1.18) boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalarni topishga keltirildi. funksiyalarni oraliqda topilgandan so`ng bo`ladigan (1.14) dan
(1.19)
ifodani hosil qilamiz. Shu bilan (1.6) chegaraviy shartdan foydalanib (1.17) boshlang`ich shart yordamida (1.15) va (1.16) tenglamalarni yechib, kesmaning chap qismidan o`ng qismiga haydab o`tib, to`g`ri haydashni (progonka) amalga oshirdik. Endi (1.19) ifoda va nuqtada (1.6) chegaraviy shartdan foydalanib, funksiyaning kesmaning o`ng tomonidagi , ya’ni nuqtadagi qiymatini topamiz
(1.20)
demak, (1.14) differensial tenglama uchun (1.20) ifoda boshlang`ich shart bo`ladi va yana Koshi masalasi hosil bo`ladi. (1.14) tenglamani o`ngdan chapga qarab integrallab, (1.5-1.6) chegaraviy masalaning yechimini topamiz. Bu jarayonga teskari haydash deyiladi.
(1.14), (1.20), (1.15), (1.17), (1.16), (1.18) Koshi masalalariga o`xshash masalalar uchun, yechish jarayonida tez o`suvchi yechim uchramasligi va bu masalalarni yechishda sonli usullarning qo`llanilishi katta xatolar yig`ilishiga olib kelmasligi, ya`ni haydash(progonka) usuli turg`un ekanligi nazariy tomondan isbot qilingan.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
