7-ma'ruza: nyuton binomi. Kiritish -yo'qotish (chiqarish) formulas! Kombinotorika formulalarining xossalari

n!

• Cm+1 _ (m + l)(n-m-l) _ m!(n-m) _ m!(n-m-l)(n-m) _ (n-m)
• Cnn = n! = (m + l)l(n-m-l)! = m!(m + l)(n-m-l) = m +1'

• m! (n - m)!
• Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:

• m+l n m rrm rrm m + m m+l u . n i i
• Cn =-Cn ,Cn =-Cn ,bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.

• m +1

• n - m

• son u

• 2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha Cm (m = 0, n) binomial koeffitsiyentlar yig'indisi 2 n ga teng.

• ya'ni

• C0 + C \ + C 2 +... + C;+l + Cn = 2 n. Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi. ■
• 3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.
• Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda,
• o = C0 - Cl + C2 - Cl +... + (- l)n + Cn tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi

• kelib chiqadi. ■
• 2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.4- xossa.
• n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun C\ + C\ +... + Cm = 2 n l tenglik hmda n sondan oshmaydigan
• eng katta juft m son uchun C ° + C \ +... + Cm = 2 n^ tenglik o'rinlidir.
• 5-xossa.Toq n son uchun

• n-l

• C0 < Cl <... < C 2

• n-l n-l
• -+l -+l
• C.2 , C 2

• n-l „
• --+2
• > Cn2 >... > C; , juft n son uchun

• esa Cn0 < Cl < Cj, Cj > C2 munosabatlar o'rinlidir.

• +l

• n

• n

• n

•