2 Tengsizliklar sistemasining umumiy xossalari

2.5. Iqtisodiyotda chiziqli tengsizliklarni qo’llanilishi

Hozirgi vaqtda matematikaning  iqtisodiyotda tadbiq etilishi yanada ortib bormoqda. Iqtisodiy masalalarni yechish uchun yordam beradigan qator matematik uslublar mavjud. Biz shunday usullardan biri – chiziqli dasturlash usuli bilan tanishamiz.So‘ngi vaqtlarda matematik uslublarning iqtisodiy masalalarni yechishda ko‘p marta va muvaffaqiyatli qo‘llanilganligini eshitmagan odamni topish qiyin bo‘lsa kerak. Matematik iqtisodiyotning yoshi anchagina ulug‘ ekanligini hamma ham bilavermaydi. U bir yarim asr avval paydo bo‘lgan va uzoq vaqt davomida o‘ziga alohida  e’tiborni jalb qila olmagan. Faqat XIX asr oxiriga kelibgina matematik iqtisodiyot haqida bir necha ishlar nashr etildi xolos.  Hozirgi vaqtda esa, turli mamlakatlarda bu mavzu yuzasidan har yili minglab kitob va maqolalar nashr etilmoqda. Matematik iqtisodiyotning shuhratining bunday keskin ortishining sababi nimada? Sodda qilib aytganda avvallari, matematikani faqat iqtisodiy hodisalarni tushuntirish uchungina (bunday savollar esa, juda tor doiradagi mutaxassislar guruhini o‘ylantiradi xolos) qo‘llanar edi, endilikda, matematika u yoki bu iqtisodiy jarayon, ishlab chiqarish sur’atini qanday qilib eng yaxshi holatda tashkillashtirish uchun ham keng tadbiq etilmoqda. Bunday turdagi masala birinchi marta 1939 yilda rus matematik akademigi L.V. Kantorovich tomonidan, Leningrad  faner tresti ishchilari oldiga qo‘yilgan vazifa yuzasidan ko‘rib chiqilgan edi.

Bu trestning zavodlaridan biri 5 turdagi mahsulot ishlab chiqarar edi. Rejada, har bir turdagi mahsulotning yakundagi umumiy natijadagi ulushida qancha miqdordan bo‘lish lozimligi qat’iy ko‘rsatilgan bo‘lgan. Zavod, 8 ta dastgohga ega bo‘lib, ularning har biri, o‘sha besh xil mahsulotning har biridan ishlab chiqarishi imkoniyati mavjud. Ko‘ndalang qo‘yilgan masala shundaki, o‘sha 8 ta dastgoh uchun, ishlab chiqarish lozim bo‘lgan 5 xil mahsulotning tayyorlanish jarayonini shunday taqsimlash kerakki, natijada ishlab chiqarilgan mahsulot miqdori eng ko‘p bo‘lsin.

Bu masalani yechish uchun Kantorovich chiziqli dasturlash deb nomlangan usulni ishlab chiqdi. Bu usul amalda o‘ta foydali bo‘lib chiqdi. Ko‘rinishidan bir biri bilan bog‘liqligi bo‘lmagan ko‘plab iqtisodiy masalalar matematika tiliga o‘girildi va yuqoridagi masalaga o‘xshash ko‘rinishga keltirilib, shunga yaqin uslublar bilan yechishga erishildi.

«Faner tresti» ning masalasi ancha murakkab. Shu tufayli, chiziqli dasturlash usulini tushuntirish osonroq bo‘lishi uchun, bir necha nisbatan soddaroq masalalarni ko‘rib chiqamiz.

Jo‘jalarga ozuqa tayyorlash haqida masala.

Parranda fermasi jo‘jalarni oziqlantirish bilan shug‘ullanadi. Soddalashtirsh uchun, ozuqa sifatida faqat ikki xil mahsulot – bug‘doy va no‘xatdan foydalaniladi deb olamiz.  Jo‘ja me’yoriy ravishda katta bo‘lishi uchun, unning kundalik ratsionida ma’lum miqdordagi kaloriya, shuningdek, oqsillar, yog‘lar va uglevodlar bo‘lishi lozim. Bu miqdor parrandashunos mutaxassislar tomonidan belgilab beriladi va biz uni majburiyat sifatida qabul qilishimiz zarur. Bir gramm bug‘doy va bir gramm no‘xatda qancha miqdorda yog‘ar, oqsillar va uglevodlar mavjudligi ma’lum. Shuningdek, har ikkala ozuqaning narxi ham ma’lum. Qanday qilib eng arzon lekin, to‘liq ratsionni ta’minlash mumkin? 

Bu masalani hal qilishda qanday matematika savollar paydo bo‘lishini aniqlash uchun, jo‘jalarni boqish haqidagi masalani tahlil qilamiz. Bu masalani tahlil qilish uchun maktab matematika kursida o‘tilgan ma’lumotlar to‘liq yetarli bo‘ladi. Hisoblashlarni esa, qog‘oz va qalam olib, ortiqcha qiyinchiliklarsiz amalga oshirish mumkin. Bir Gramm bug‘doyda  kaloriya, bir gramm no‘xatda esa  kaloriya mavjud bo‘lsin. Kundalik ratsionda mavjud bo‘lishi lozim bo‘lgan minimal kaloriya esa . Tekislikdagi  va  nuqtalar tarzida,  tarkibida  gramm bug‘doy va  gramm no‘xat bo‘ladigan menyuni tasavvur qilamiz. Tekislikda, kaloriyasi  dan kam bo‘lmaydigan ratsionga javobgar bo‘lgan nuqtalarni ajratib ko‘rsatamiz. Menyu  gramm bug‘doy va gramm no‘xatdan tuzilishini e’tiborga olsak, demak u holda bunday nuqtalar uchun quyidagicha: