14-ma’ruza Mavzu: Tanlanma korrelyatsiya koeffisiyent va nisbat Adabiyotlar

1-misol. To’g’ri to’rtburchak plitkaning uzunliklari x (sm) va massalari y (kg) bo’yicha taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan:

y x	6	8	10	12	14
30	2	17	9	3	-	31
35	-	10	17	9	-	36
40	-	3	24	16	13	56
45	-	-	6	24	12	42
50	-	-	2	11	22	35
	2	30	58	63	47	200

Regressiya to’g’ri chiziqlarining tanlanma tenglamalarini tuzing.

Yechilishi. bo’lganligi sababli

almashtirish olib quyidagi jadvalga ega bo’lamiz.

v u	-2	-1	0	1	2
-2	2	17	9	3	-	31
-1	-	10	17	9	-	36
0	-	3	24	16	13	56
1	-	-	6	24	12	42
2	-	-	2	11	22	35
	2	30	58	63	47	200=n

Jadvaldan foydalanib quyidagilarni hisoblaymiz.
;
;
;
;
;
.


yig’indini hisoblash uchun ushbu hisoblash jadvalini tuzamiz.

v u	-2				-1						0								1							2
-2			-4		17					-17								0		3					3		-						-18			36
	2											9
	-4			-34					-18								-6
-1	-				10					-10		17						0							9		-						-1			1
																						9
					-10							-17								-9
0	-				3			-3			24						0		16					16		13				26		39			0
					0						0								0							0
1	-				-						6						0						24			12				24		48			48
																					24
											6								24							12
2	-				-						2						0		11					11		22				44		55			110
											4								22							44
	-4				-44						-25								31							56									195
	8				44						0								31							112						195

Korrelyatsion jadval har bir katagining yuqoridagi o’ng burchagiga ko’paytmani yozamiz. Katakning quyi chap burchagiga ko’paytmani yozamiz.

Barcha kataklarning yuqoridagi o’ng burchagidagi va quyidagi chap burchagidagi sonlarni qo’shib, va qiymatlarni hosil qilamiz. Barcha uv va vu ko’paytmalarni hisoblab, natijalarni qo’shimcha satr va ustunga yozamiz, bunda ko’paytma nazorat uchun xizmat qiladi.
U holda
.
Endi korrelyatsiya koeffitsiyentini hisoblaymiz:
.
(87.8) formulalarga asoslanib quyidagilarni hosil qilamiz:
.
U holda (87.5) formulaga ko’ra Y ning X ga tanlanma regressiya to’g’ri chizig’i tenglamasi

yoki

ko’rinishda bo’ladi.
Shunga o’xshash formuladan foydalanib X ning Y ga tanlanma regressiya to’g’ri chizig’i tenglamasi

ko’rinishga ega bo’lishini topamiz.


87.2. Egri chiziqli korrelyatsiya
Agar regressiya grafigi egri chiziq bo’lsa, korrelyatsion bog’lanish egri chiziqli karrelyatsiya deyiladi. Ikkinchi tartibli parabolik korrelyatsiya bo’lgan holda Y ning X ga regressiyasining tanlanma tenglamasi
(87.9)
ko’rinishda bo’ladi (ikkinchi tartibli parabolik korrelyatsiya).
X va Y miqdorlar takrorlanmay kelgan holda a, b va c parametrlarni eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasidan topiladi:


(87.10)

Agar X va Y miqdorlar tartiblanib kelsa, ya’ni va chastotalarga ega bo’lsa, ma’lumotlar korrelyatsion jadval orqali berilgan bo’lib, tenglamalar sistemasining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

(87.10')
Bundan a,b va c parametrlar topilib, (87.9) tenglamaga qo’yiladi.
Xuddi shu yo’l bilan Y ning X ga regressiyasining tanlanma tenglamasi
(87.11)
formula yordamida topiladi.
Y ning X ga korrelyatsiyasining zichligini baholash uchun ushbu
(87.12)
tanlanma korrelyatsion nisbat topiladi, bunda
, (87.13)
(87.14)
X ning Y ga korrelyatsion zichligini topish uchun esa
(87.15)
topiladi.
2-misol. Tajriba natijasida quyidagi ma’lumotlar olingan:

x	2	4	6	8	10
	9	6	5,5	6,5	11

x va lar ko’rinishdagi tenglama bilan bag’langan deb, a, b va c ni eng kichik kvadratlar usuli bilan toping.

Yechilishi. Hisoblashlarni osonlashtirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

x	2	4	6	8	10	Σx=30
	9	6	5,5	6,5	11	Σ =38
x	18	24	33	52	110	Σx =237
x^2	4	16	36	64	100	Σ x^2=220
x^2	36	96	198	416	1100	Σ x^2=1846
x^3	8	64	216	512	1000	Σ x^3=1800
x^4	16	256	1296	4096	10000	Σ x^4=15664

Topilgan qiymatlarni (87.10) tenglamalar sistemasiga qo’yamiz.

Shu tenglamalar sistemasini yechib a, b, c larni topamiz.
Uchinchi tenglamani 44 ga ko’paytirib, birinchi tenglamadan ayiramiz:

Uchinchi tenglamani 6 ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamadan ayirsak

bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Ikkinchi tenglamani 12 ga ko’paytirib, birinchi tenglamadan ayirsak

bo’ladi.
Bundan
qiymatni 480a+40b=9 tenglamaga qo’yib b ni topamiz:

a va b ning topilgan qiymatlarini 220a+30b+5c=38 tenglamaga qo’yib c ≈14,5 ni aniqlaymiz.
a, b va c ning topilgan qiymatlarini (87.9) ga qo’yib Y ning X ga regressiyasining tanlanma tenglamasi

ni topamiz.

3-misol. Quyidagi korrelyatsion jadvalda berilgan ma’lumotlar orqali tenglama regressiya tenglamasini va korrelyatsion nisbatni toping:

x y	2	3	5
25 45 110	20 - - 20	- 30 1 31	- 1 48 49	20 31 49 n=100

Yechilishi. Parametrlarni topish uchun quyidagi hisoblash jadvalini tuzamiz (jadvaldagi kasr sonlar yaxlitlangan):

x
2 3 5 Σ	20 31 49 100	25 47,1 108,7	40 93 245 378	80 279 1225 1584	160 837 6125 7122	320 2511 30625 33456	500 1460 5325 7285	1000 4380 26624 32004	2000 13141 133121 148262

ni topish

kabi amalga oshiriladi.
Jadvaldagi tegishli qiymatlarni (87.10́) tenglamalar sistemasiga qo’yib quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Bu sistemani yechib
a=2,94; b=7,27; c=-1,25
ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib izlanayotgan regressiya tenglamasi ushbu

ko’rinishga ega ekan.
Bu tenglama bo’yicha hisoblangan o’rtacha qiymatlar hisoblash jadvalidagi shartli o’rtacha qiymatlardan sal farq qilishi mumkin, masalan x=2 da jadval bo’yicha , tenglama bo’yicha esa

Demak, topilgan tenglama kuzatish ma’lumotlari bilan juda mos keladi.
Endi korrelyatsion nisbatni topamiz. Buning uchun avval umumiy o’rta qiymatni topamiz:

So’ngra o’rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Guruhlararo o’rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Demak, korrelyatsion nisbat taqriban quyidagiga teng: