1 Integral ostidagi ifoda ikki bo’lakka ajratiladi

KASR-RATSIONAL VA IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH

Kasr-ratsional funksiyalarni integrallash

Quyidagi

(1)

ko‘rinishdagi kasrga kasr-ratsional funksiya yoki qisqacha ratsional funksiya deyiladi. Bu yerda va .

Agar bo‘lsa, to‘g‘ri kasr, bo‘lsa, noto‘g‘ri kasr deyiladi.

Har qanday noto‘g‘ri kasr ko‘phadlarni bo‘lish qoidasi yordamida qandaydir ko‘phad va to‘g‘ri kasr yig‘indisi shaklida ifodalanadi:

. (2)

Masalan, , chunki

x^4+ 2	x^2+ 3x – 1
x^4+ 3x^3 – x^2	x^2−3x +10
−3x^3 + x^2+2
−3x^3 –9 x^2+ 3x
10x^2– 3x + 2 10x^2+ 30x – 10
– 33x+12

ko‘phadni integrallash oson bo‘lgani uchun, ratsional funksiyani integrallash to‘g‘ri kasrni integrallash masalasiga keltiriladi.

Quyidaqi to‘g‘ri kasrlar oddiy ratsional kasrlar deyiladi:

I. ,

II.

III. .

ІV.

Bu yerda A, B , a , p, q - haqiqiy sonlar.

Endi bu kasrlarning integrallarini hisoblaymiz:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   integralda bo‘lsa, suratida maxrajining hosilasini hosil qilib olamiz:
   

.

Oxirgi integralda bo‘lgani uchun, jadvaldagi integralga keladi. Demak,

. (3)

4. 
   .
   

Bunda

, (4)

oxirgi integralda esa almashtirish bajaramiz.

.

Birinchi integral berilgan integralning tartibi bittaga kamaygan holi, ikkinchi integralni bo‘laklab integrallash mumkin. Natijada, quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:

. (5)

Eslatma. Agar maxrajda ko‘phad bo‘lsa, avval a qavsdan chiqariladi:

1-misol

Ushbu integralni hisoblang.

►Avval maxrajidan ko‘paytuvchi qavsdan chiqaramiz, suratida maxrajining hosilasini hosil qilib olamiz.

.◄
2-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► .

Birinchi qo‘shiluvchi (4) formulaga ko‘ra,

.

Ikkinchi integral uchun (5) rekkurent formulani qo‘llasak,



.

Demak,

.◄
Ma’lumki, har qanday haqiqiy koeffitsientli ko‘phad quyidagi ko‘paytma shaklida ifodalanadi:

, (6)

bu yerda lar ko‘phadning karrali haqiqiy ildizlari, va .

Teorema (to‘g‘ri kasrni oddiy kasrlar yig‘ndisiga ajratish haqida) Maxraji (2.6) shaklda tasvirlangan har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni I-IV turdagi oddiy kasrlar yig‘indisiga yoyish mumkin. Bu yoyilmada ko‘phadning har bir karrali haqiqiy ildiziga ( ko‘paytuvcisiga)

(7)

ko‘rinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi. ko‘phadning har bir juft qo‘shma- kompleks ildiziga ( ko‘paytuvchisiga)

(8)

ko‘rinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi.

Demak, integral ostidagi to‘g‘ri ratsional kasrni (7) va (8) formulalarni e’tiborga olib noma’lum koeffitsientli oddiy kasrlarga yoyiladi. So‘ng bu kasrlarga umumiy maxraj beriladi. Yoyilmadagi koeffitsientlarning qiymatlari esa

1. 
   noma’lum koeffitsientlar usuli;
   
2. 
   o‘ rniga qo‘ yish usulidan biri yoki ikkalasini qo‘llab aniqlanadi.
   

Noma’lum koeffitsientlari usulida to‘g‘ri ratsional kasrning suratidagi ko‘phad hosil bo‘lgan kasrning suratidagi ko‘phadga aynan tengligidan ning bir xil daragalari oldidagi koeffitsientlar tenglab, ta noma’lum uchun ta tenglamalar sistemasi hosil qilinib noma’lum koeffitsientlar topiladi.

O‘rniga qo‘yish usulida ko‘phadlar, ning barcha qiymatlarida aynan teng bo‘lgani uchun, ning tayin xususiy qiymatlarida tenglab noma’lum koeffitsientlar topiladi.

3-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Maxrajdagi ko‘phadning bir karrali haqiqiy va ikki karrali ildizlari bor bo‘lgani uchun

.

mumiy maxraj berib, suratdagi ko‘phadlarni tenglaymiz

yoki .

Noma’lum koeffitsientlari usulidan foydalanamiz, ning darajalari oldidagi koeffitsintlarni tenglaymiz:



Bundan , .

Demak,



.◄

4-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Integral ostida to‘g‘ri ratsional kasr va u І turdagi sodda kasrlar yig‘indisiga ajraladi

,

bundan

A, B, D koeffutsientlarni topish uchun o‘rniga qo‘yish usulidan foydalanamiz:

bo‘lganda , bundan

bo‘lganda bundan

bo‘lganda, bundan

Shunday qilib , quyidagini hosil qilamiz :



.◄

5-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Integral ostida to‘g‘ri ratsional kasrning maxrajidagi ko‘phad ko‘paytuvchilarga ajratiladi va sodda kasrlar yig‘indisi shaklida ifodalanadi

Umumiy maxraj berib suratlari tenglanadi



A, M, N koeffitsientlarni topish uchun yuqoridagi usullarni birga qo‘llaymiz:



Bundan , va

.

Endi integralni hisoblaymiz:







.◄

Shunday qilib ratsional kasrni integrallash uchun

1) uning to‘g‘ri yoki noto‘g‘ri kasr ekanligini tekshiriladi, aks holda(ya’ni noto‘g‘ri kasr bo‘lganda) butun qismi ajratiladi, ko‘phad va to‘g‘ri ratsional kasr hosil qilinadi;

2) to‘g‘ri ratsional kasrni oddiy kasrlar yig‘indisiga ajratiladi;

3) yoyilmaning koeffitsientlari topiladi;

4) ifoda integrallanadi.