1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

235
www.Orbita.Uz kutubxonasiх = 1
нуктада хосилага эга эмас. Келтирилган мисолдан
куринадики, функциянинг бирор нуктада бир томонли хосилала-
рининг мавжудлигидан унинг шу нуктада хосиласининг мавжуд­
лиги хар доим келиб чикавермас экан.
Функциянинг хосиласи, функциянинг унг ва чап хосилалари
таърифларидан бевосита куйидаги тасдиклар келиб чикади.
1°. Агар f(x) функция х 0 нуктада f ' ( х0) хосилага эга булса,
функция шу нуктада унг /'(х 0 + 0 ) хосилага ха мда чап f ' ( x 0 —
— 0 ) хосилага эга булиб,
п * о + 0 ) = п * о - 0 ) = п * о )
булади.
2°. Агар f(x ) функция х 0 нуктада унг [ ' ( х о + 0) ва чап f ' ( x 0 —
— 0 ) хо си лал ар га эга булиб,
f ' ( x o + 0 ) = f ' ( x o- 0 )
булса, функция шу нуктада f'(х0) хосилага эга ва
' f ' ( Xo) = f ' ( x o + 0 ) = f ' ( x o - 0 )
булади.
1- э с л а т м а. Агар
о) , •• .. bf(xo)
lim -----------
= + оо еки lim = — оо
Длг-0
булса, уни хам f(x) функциянинг х0 нуктадаги хосиласи деб
каралади. Одатда бундай хосила чексиз уо си ла дейилади.
Энди функциянинг узлуксиз булиши билан унинг хосилага эга
булиши орасидаги богланишни ифодаловчи содда теоремани келти­
рамиз.
1-т е о р е м а. А га р f(x) функция х 0 нуктада чекли f'(x 0)
х;осилага эга булса, f(x) функция шу х0 нуктада узл ук си з булади.
И с б о т . Берилган f(x) функция
х 0 нуктада чекли
f'(X 0)
Хосилага эга булсин. Хосила таърифига кура
П т ^ L=f'(x о)
А х-гО л х
булади. Мазкур курснинг 18-боб, 3-§ да келтирилган тасдикдан
фойдаланиб топамиз:
Дf (x n)
— — ==Г (Хо) + а ( Д л : ) .
Бунда Дх—>-0 да а(Дх)->-0. Кейинги тенгликдан
Af (xo) = f ' (х0) А х - \ - а ( А х ) - А х (3)
булиши келиб чикади. (Одатда (3) ифодага ф ун кц и я орттирмаси-