Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

9-Mavzu: Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

1. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:
   

u₁, u₂ ,..., u_n ,....
Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan

u₁  u₂  ...  u_n  ...  _u_k
k 1
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb,
u₁, u₂ ,..., u_n ,...
chekli sonlar esa

qatorning hadlari deb ataladi.
yig‘indisi deyiladi.
s_n  u₁  u₂  ...  u_n
yig‘indiga qatorning xususiy

Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan
s₁, s₂,..., s_n ,...
ketma-ketlik

chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda
qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan sonli cheksiz qator tushunchasida qatorning
u₁, u₂ ,..., u_n ,... hadlari sonlar emas, balki qandaydir x o‘zgaruvchiga bog‘liq chekli
qiymatlar qabul qiluvchi u₁(x),u₂(x),...,u_n (x),... funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda
bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi

u₁(x)  u₂ (x)  ...  u_n (x)  ...  _u_k (x)
k 1
funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator

a  a x  a x²  ...  a xⁿ  ...  _a x^k

0 1 2
n k
k 1

ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi.
Tushunarliki, o‘zgaruvchisi nolga teng bo‘lgan har qanday darajali qator yaqinlashuvchidir. Odatda darajali qator o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali qatorlar borki, ular o‘zgaruvchi qanday qiymatga ega bo‘lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi yoki o‘zgaruvchining noldan boshqa barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga kelgan ketma-ketliklar bilan ishlash uchun kerakli qurol sifatida qo‘llaniladi. Masalan, agar bo‘laklash masalasi qaralayotgan bo‘lsa, bunday sonlar ketma- ketligining elementlari qilib n natural sonni qo‘shiluvchilar yig‘indisi sifatida
bo‘laklashlar soni R(n) ni olish mumkin.

Agar darajali qator vositasida chekli sonlarning
a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
cheksiz

ketma-ketligiga haqiqiy yoki kompleks o‘zgaruvchili qandaydir funksiya mos qo‘yilishi mumkin bo‘lsa, u holda ketma-ketliklar ustida bajariladigan ba’zi amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi.
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi


k
f (x)  _a_k x
k 0
funksiya a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi.

Bu yerda
f (x)
funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi

uchun x o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim ahamiyatga ega emas.

Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar


k
f (x)  _a_k x
k 0
darajali qator
f ^(k) (0)
x  0

nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
a_k  _k!
( k  0,1,2,...

) formula o‘rinli bo‘ladi, bu yerda
f ^(k) (0)
ifoda
f (x)
funksiyadan olingan k -

tartibli hosilasining
x  0
nuqtadagi qiymatidir.

1. 
   misol. Hadlari faqat birlardan iborat bo‘lgan
   

1,1,...,1,...
sonlar ketma-

ketligining hosil qiluvchi funksiyasi
f (x) 
1

1 x

ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Haqiqatdan ham, 1,1,...,1,... sonlar ketma-ketligiga
1 x  x²  ...  xⁿ  ...
darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji x ga teng bo‘lgan
1, x, x² ,..., xⁿ ,...
ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan

ma’lumki, bu progressiya
| x | 1
bo‘lganda cheksiz kamayuvchi geometrik

progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi

formula bilan ifodalanadi.

1  x  x²  ...  xⁿ  ... 
1

1  x

2. 
   misol. 1-misoldagidek mulohaza yuritib har qanday chekli a songa mos
   

keluvchi
1, a, a²,..., aⁿ,...
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi

f (x) 
1


1 ax
ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin.

2. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.
   

1. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va holda
b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi


a₀  b₀ , a₁  b₁, a₂  b₂ ,..., a_n  b_n ,...
f_b (x)
bo‘lsa, u

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  f_a (x)  f_b (x)
bo‘ladi.

2. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va
b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
n
f_b (x)
bo‘lsa, u

holda elementlari
^dn ^ ^ai^bn i
i 0
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat bo‘lgan

d₀ , d₁, d₂ ,...,d_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  f_a (x) f_b (x)
bo‘ladi.

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-m i s o l . Ushbu
0,1,2,3,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f (x) 
x
(1 x)²
bo‘ladi.


Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikka _kx^k
k 0
ko‘rinishdagi darajali


qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalini _ x^k
k 0
qatorga

qo‘llab va
x  1
bo‘lgan hol uchun o‘rinli



k 0
_{xk } 1
1  x
tenglikni hisobga olib,


quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:




_kx^k  x_kx^{k 1}  x_
^d x^k 

k 0 k 0
 x ^d  x^k  x ^{d }


k 0 ^dx

¹  _ ^x _.

dx ^
  ₂

k 0
dx _1  x _ (1  x)

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.

3. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x)
bo‘lsa, u holda elementlari
b_n  (n 1)a_n1
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat

b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
_{f (x) } df_a (x)
bo‘ladi.

0 1 2 n
^b dx

4. 
   misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
   


Hosil qiluvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra izlanayotgan funksiya _(1  k)x^k
k 0
darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-

ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
1,1,...,1,... va
0,1,2,3,...
ketma-ketliklarning hosil


qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:




_(1 k)x^k  _
x^k  _{
kxk  } 1 _ x _ 1 x  x _ 1 _.

k 0
k 0
k 0
1 x
(1 x)²
(1 x)²
(1 x)²

Demak, bo‘ladi.
1,2,3,4,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi
f (x) 
1


(1  x)²

3. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.
   

5. 
   misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari
   

^Cⁿ , 0  n  s,

a  _ ^s

formula asosida aniqlangan
a , a , a ,..., a ,...
sonlar ketma-

_0,
s  n,
0 1 2 n

ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda
Cⁿ 
s! n!(s  n)!
– binomial koeffitsientlar. Bu

s
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra
 s
_a xⁿ  _Cⁿxⁿ  (1 x)^s

n
n0
s
n0

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun
s  0
son uchun

C⁰, C¹, C²,..., C^s ,0,0,...,0,...
ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi

s s s s

funksiyasi
f (x)  (1 x)^s
ko‘rinishga egadir.

Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.

1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir:
k  m  n
sonlar uchun quyidagi


min(k ,n)
_Ci _Ck i _{ C}k _.

n m i max(0,k m)
n  m

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin
u₀  0
sonni qo‘yib,

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz.
u(x)
hosil

Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
  

u(x)  _u x^k  x  _u x^k  x  _(u _

• 
  u _ )x^k 
  

k
k 0

k
k 2

k 2 k 1
k 2
 

 x  _u _ x^k  _u _ x^k  x  x² _u x^s  x_u
x^p 

k 2
k 2
k 1
k 2
s
s 0
p
p 0

 x  x²u(x)  xu(x) .

Endi hosil bo‘lgan tenglama deb qarab,
u(x)  x  x²u(x)  xu(x)
tenglikni
u(x)
funksiyaga nisbatan

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning u(x) 
x
1 x  x²
hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.

2. 
   teorema. Fibonachchi soni u_n ( n  0,1,2,... ) uchun
   

^1
_{5 }n
^1
_{5 }n _

u_n 
^
_
 _ 
²  
^ 
² _ _
tenglik o‘rinlidir.

Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan
R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),...



ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan
r(x)  _ R(n)xⁿ  1 x  2x²  3x³  5x⁴  7x⁵ 12x⁶  ...
n0
darajali qatorni qaraymiz.

L. Eyler uchun tekshirib,
(1 x)(1 x² )(1 x³)...(1 xⁿ )
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n

  _
3m² m

3m² m _




(x)  _(1 xⁿ )  1 _(1)^{m } x ²
 x ^{2 }

n1
m1 _{ }

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi.

2. 
   teorema. (x)r(x)  1.
   

Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini toping:
   

a) 1 2, 2 3, 3 4, ...; b) 1²,2²,3²,4²,...; d) 1,
1 _, 1 _,
4 9
¹ , ... ;
16

e) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...; f) 1,
1 _, 1 _,
¹ , ...
; g) 1, 0,  ¹ , 0, ¹ , ... .

2 3 4 3! 5!

2. 
   Har qanday chekli a songa mos keluvchi
   

1, a, a²,..., aⁿ,...
va 1,1,...,1,...
ketma-

ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalardan foydalanib ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini toping.
0, a 1, a² 1,..., aⁿ 1,...

3. a₀ , a₁, a₂ , a₃ ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)
bo‘lsin.

Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarni aniqlang:
a) a₀  a₁, a₁  a₂ , a₂  a₃ ,... ; b) a₀ , a₀  a₁, a₀  a₁  a₂ ,... ;
d) a , a , a , a ,...; e) a , a b, a b², a b³,... , b – ixtiyoriy chekli son.
0 2 4 6 0 1 2 3

4. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalarini qo‘llab bir necha sonlar ketma-ketliklarining hosil qiluvchi funksiyalarini toping.
   
5. 
   Quyidagi rekurrent formulalar bilan berilgan ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini va ketma-ketliklar elementlarining aniq ifodalarini toping:
   

a) a_n2  4a_n1  4a_n , a₀  a₁  1;

b) a_n3  3a_n2  3a_n1  a_n ,
a₀  1,
a₁  a₂  0 ;

d) a
  ³ a  ¹ a , a  0 , a  1, a
 2 .

n3
₂ n2 ₂ n 0 1 2

4. 
   Bine formulasidan foydalanib Fibonachchi qatoridagi o‘n ikkinchi elementni aniqlang.
   
5. 
   Fibonachchi sonlarining (qar. 4- paragrafda keltirilgan) 4.1-, 4.2-, 4.3- va
   

4.5-xossalarini
u₀  0, u₁  1, u_n  u_n2  u_n1
( n  2 ) ketma-ketlikining hosil

qiluvchi funksiyasidan foydalangan holda isbotlang.

4. 
   Isbotlang: a)
   

R(20)  627 ; b)
R(21)  792 ; d)
R(22)  1002 .