Hodisaning ehtimolligi. Ehtimollikning eng sodda xossalari. Kombinatorika formulalari. Kombinatorikaning takroriy formulalari

Ehtimolning klassik ta’rifi.

Agar - chekli elementar hodisalar to’plamini qarasak va  deb ning barcha to’plam ostlarini olsak, u holda  -algebra bo’ladi. R(A) ehtimollik funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz:

.

Shunday aniqlangan P(A) funksiya ehtimollikning barcha shartlarini bajaradi.

Agar biz bilan A to’plamning elementlari, sonini belgilasak va ixtiyoriy da , ya’ni larning ro’y berishini teng imkoniyatli deb faraz qilsak ehtimollikning klassik ta’rifi kelib chiqadi.

yoki

Ya’ni

(1)
bo’lgan hol klassik bo’lgani uchun, (1) tenglik ehtimollikning klassik ta’rifi deb ataladi. Ehtimollikning klassik ta’rifidan foydalanganda A to’plam va fazodagi elementar hodisalar sonini hisoblashga to’g’ri keladi.

KLASSIK VA STATISTIK EHTIMOLLIK TA’RIFLARI

Hodisaning ehtimoli bu hodisaning ro’y berishi imkonining miqdoriy ko’rsatgichidir.

Agar W-n ta o’zaro teng kuchli, ya’ni ro’y berish yoki bermaslik ehtimoli bir xil bo’lgan hodisalardan tashkil topgan bo’lsa, u holda A hodisaning P(A) ehtimoli A hodisa ro’y berishiga qulaylik tug’diradigan elementar hodisalar soni n ga nisbatiga teng.

P(A)=m/n

A hodisa ro’y berishga qulaylik tug’diradigan elementar hodisalar

“moyil hodisalar” deyiladi. Barcha elementar hodisalar teng imkoniyatli bo’lgan hol “klassik hol” deb ataladi. Quyidagi nisbat W(A)=m/n ga A hodisaning “nisbiy chastotasi” deb ataladi Nisbiy chastota tajribalardan so’ng hisoblanadi. Bunda m-A hodisa ro’y bergan tajribalar soni ; n-tajribalarning umumiy soni. Statistik ta’rifda hodisaning ehtimolligi sifatida uning nisbiy chastotasi olinadi. Statistik ta’rif nisbiy chastotaning turg’unlik xossasiga asoslanadi.

Na’munaviy masala

Shoshqol toshi bir marta tashlangan bo’lsa, juft ochko tushish ehtimolini toping.

Yechish: B-juft ochko tushish hodisasi bo’lsin. Elementar hodisalar fazosi 6 ta teng imkoniyatli hodisadan iborat, ya’ni Ω=(A₁, A₂,A₃,A₄,A₅,A₆).Bu yerda Aₐ- ( a tushish hodisasi). U holda B ga moyil elementar hodisalar 3 ta - A₂,A₄,A₆. Ehtimollikning klassik ta’rifiga asosan P(B)=m/n =3/6=0,5 Javob: P(B)=0,5.

GEOMETRIK EHTIMOLLIK.

Geometrik ehtimollik tajriba uchun elementar hodisalar soni cheksiz (sanoqli va sanoqsiz) ko’p bo’lgan hollarda ishlatiladi. Geometrik ehtimollikning ma’nosini quyidagi misolda tushuntiramiz. Aytaylik,biror G sohaga tasodifiy ravishda nuqta tashlanmoqda, ya’ni nuqta G sohaning ixtiyoriy joyiga teng imkoniyatli ravishda tushishi mumkin.Nuqtaning G sohaning ichida joylashgan ixtiyoriy g sohaga tushish ehtimoli ana shu g soha o’lchovi (uzunligi,yuzasi, hajmi va h.k.) ga proporsional bo’lib, uning qayerda joylashgani va shakliga bog’liq emas. Shunday qilib nuqtaning g sohaga tushish ehtimolligi:

P(g)=g soha o’lchovi/G soha o’lchovi.

Na’munaviy masala

Tomoni a ga teng bo’lgan kvadratiga aylana ichki chizilgan. Tasodifiy ravishda kvadratning ichiga tashlangan nuqta aylana ichiga tushishi ehtimolini toping.

Yechish:G-tomoni a ga teng bo’lgan kvadrat, g- unga ichki chizilgan aylana a/2 radiusli aylana. G va g shakllar tekislikda qaralayotganligi uchun o’lchov sifatida yuza olinadi. Demak, izlanayotgan ehtimollik:

P(g)=g o’lchovi/ G o’lchovi= yuza g/yuza G=∏(a/2)²/a²=∏/4

a

Ehtimolning klassik ta’rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi.