|
Ehtimollikning eng sodda xossalari
Ehtimolning klassik ta’rifidan bevosita uning quyidagi eng soda xossalari kelib chiqadi.
1-xossa. Muqarrar hodisaning ehtimoli birga teng.
Haqiqatan ham, bu holda m = n demak,
2-xossa. Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.
Bu holda m = 0 va
3-xossa. Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida yotuvchi
sondir, ya’ni
0 < P(A) < 1.
Haqiqatan ham, bu holda 0 < m < n , shuning uchun demak, 0 < P(A) < 1.
Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli quyidagi munosabatni qanoatlantiradi:
Ta’rif. Kombinatorik masalalar bilan shug’ullanadigan matematik fan kombinatorika deyiladi.
Kombinatorikani mustaqil fan sifatida birinchi bo’lib olmon matematigi G.Leybnits o’rgangan va 1666 yilda “Kombinatorika san’ati haqida” asarini chop etgan.
Kombinatorikada qo’shish va ko’paytirish qoidasi deb ataluvchi ikkita asosiy qoida mavjud.
Qo’shish qoidasi. Agar biror tanlovni usulda, tanlovni usulda amalga oshirish mumkin bo’lsa va bu yerda tanlovni ixtiyoriy tanlash usuli tanlovni ixtiyoriy tanlash usulidan farq qilsa, u holda “ yoki ” tanlovni amalga oshirish usullari soni formuladan topiladi.
Ko’paytirish qoidasi. Agar biror tanlovni usulda, tanlovni usulda amalga oshirish mumkin bo’lsa, u holda “ va ” tanlovni (yoki ( , ) juftlikni) amalga oshirish usullari soni formuladan topiladi.
Kombinatorik masalalarni yechishda ko’p qo’llaniladigan tushunchalardan biri o’rin almashtirish tushunchasidir.
Ta’rif. Chekli va ta elementdan iborat to’plamning barcha elementlarini faqat joylashish tartibini o’zgartirib qism to’plam hosil qilish elementli o’rin almashtirish deb ataladi.
Berilgan ta elementdan tashkil topadigan o’rin almashtirishlar soni bilan belgilanadi.
Teorema. ta elementdan iborat o’rin almashtirishlar soni formula bilan hisoblanadi.
Bu yerda – en faktorial deb o’qiladi va kabi aniqlanadi. Bunda deb olinadi. Masalan, va hokazo. Faktoriallarni hisoblashda tenglikdan foydalanish qulay bo’ladi. Masalan, elementli to’plamdan hosil bo’ladigan o’rin almashtirishlar bo’lib, ularning soni bo’ladi.
Kombinatorik tushunchalardan yana biri kombinatsiya tushunchasidir.
Ta’rif. Chekli va ta elementli to’plamning ta elementli va kamida bitta element bilan farqlanadigan qism to’plam hosil qilish elementdan ta olingan kombinatsiya yoki guruhlashlar soni deyiladi.
Masalan, ko’rinishdagi elementli to’plamdan ikkita elemenli kombinatsiyalar bo’lib, ularning soni 3 tadir. Bu yerda deb olinadi.
ta elementdan tadan olingan kombinatsiyalar soni kabi belgilanadi va uning qiymati formula yordamida hisoblanadi.
Bu formula orqali kiritilgan sonlar yordamida quyidagi tenglikni yozish mumkin:
Bu tenglikda ixtiyoriy natural son bo’lib, u va qisqa ko’paytirish formulalarining umumlashmasini ifodalaydi va uni Nyuton binomi deb ataladi. Unga kiruvchi sonlari binomial koeffitsentlar deb ataladi.
Agar Nyuton binomida yoki deb olsak, unda
tengliklar o’rinli bo’ladi.
Agar formulada o’rniga qo’yilsa yoki yoki deb olinsa, unda tengliklar hosil bo’ladi. Bular kombinatsiyalarni hisoblashni osonlashtiradi.
Kombinatorik masalalarni yechishda o’rinlashtirish deb ataluvchi tushunchadan ham foydalaniladi.
Ta’rif. Chekli va ta elementdan iborat to’plamdan bir-biridan yoki elementlari yoki elementlarining joylashish tartibi bilan farq qiladigan va ta elementdan iborat qism to’plamlarni hosil qilish elementdan tadan o’rinlashtirish deb ataladi.
Berilgan ta elementdan tadan o’rinlashtirishlar soni kabi belgilanadi va uning qiymati
yoki formula bilan hisoblanadi.
Masalan, to’plamdan elementdan tadan o’rinlashtirishlar bo’lib, ularning soni yoki
1. O‘rinlashtirishlar soni: ta elementdan ( ) tadan olib tuzilgan o‘rinlashtirishlar deb barcha shunday birlashmalarga (guruhlarga) aytiladiki, bu birlashmalarning har birida tadan element bo‘lib, ular bir-birlaridan yo elementlari bilan yoki elementlarning tartibi bilan farq qiladi. Masalan, 3 ta elementlardan 2 tadan olib tuzilgan o‘rinlashtirishlar:
bo‘ladi.
ta elementdan tadan olib tuzilgan barcha o‘rinlashtirishlar soni simvol bilan belgilanadi va u
formula bilan aniqlanadi.
SHunday qilib, ta elementdan tadan olib tuzish mumkin bo‘lgan barcha o‘rinlashtirishlar soni eng kattasi bo‘lgan ta ketma-ket butun sonlarning ko‘paytmasiga teng. Masalan,
2. O‘rin almashtirishlar soni. Har biriga berilgan ta elementning hammasi kiradigan va bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan farq qiladigan birlashmalar o‘rin almashtirishlar deyiladi. Masalan, uchta elementdan hammasi bo‘lib 6 ta turli o‘rin almashtirishlar tuzish mumkin:
ta elementdan tuzish mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlar sonini simvol bilan belgilash qabul qilingan. O‘rin almashtirishni har bir o‘rinlashtirishga kiruvchi elementlar barcha elementlar soniga teng, ya’ni bo‘lgan o‘rinlashtirish deb qarash mumkin. Bundan ta elementdan tuzilgan barcha o‘rin almashtirishlar soni uchun quyidagi formula hosil bo‘ladi:
yoki ko‘paytuvchilarni teskari tartibda yozsak,
bo‘ladi.
Demak, ta elementdan tuzish mumkin bo‘lgan barcha o‘rin almashtirishlar soni 1 dan gacha ( ham kiradi) ketma-ket natural sonlar ko‘paytmasiga teng. Masalan,
3. Guruhlashlar soni ta elementdan tadan olib tuzilgan guruhlashlar deb, har biri ta turli elementlardan tuzilgan va bir-biridan kamida bita elementi bilan farq qiladigan birlashmalarga aytiladi. Masalan, 4 ta elementlardan 3 tadan olib guruhlashlar tuzsak, ular hammasi bo‘lib to‘rtta bo‘ladi:
ta elementdan tadan olib tuzilgan guruhlashlar sonini simvol bilan belgilash qabul qilingan. U
(1)
formula bilan aniqlanadi.
(1) tenglikning o‘ng tomonini ga ko‘paytirib va bo‘lib, guruhlashlar sonini topish formulasini boshqacha, chunonchi
(1`)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Bu formulada sonni son bilan almashtirsak, u holda
(2)
formulasini hosil bo‘ladi.
(1`) va (2) formulalarning o‘ng tomonlari o‘zaro bir-biriga teng, demak, ularning chap tomonlari ham teng, ya’ni
(3)
bo‘lsin, u holda (1`), (2) va (3) formulalardan mos ravishda quyidagilarni hosil qilamiz:
va
, chunki ta elementdan ta elementdan iborat bo‘lgan faqat bitta guruhlash tuzish mumkin. SHuning uchun yuqoridagi tengliklarning to‘g‘riligini tasdiqlash uchun
va
Do'stlaringiz bilan baham: | 
