Hodisalar ustida amallar

Qaytarilmaydigan tanlashlar sxemasi

Guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( 0 < m :s; n )tadan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:

cm= n!
n m!(n-m)!


c: sonlar Nyuton binomi formulasining koeffisientlaridir:
(1.6.2)

0 'rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m ( 0 < m :s; n) tadan o'rinlashtirishlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:

Am=
n!_--
(1.6.3)

n (n-m)!

0 'rin almashtirishlar soni: n ta elementdan n tadan o'rinlashtirish o'rin almashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi:

^p n ^=n'.. (1.6.4)

.
O'rin almashtirish o'rinlashtirishning xususiy holidir, chunki agar

(1.6.3.)da n=m bo'lsa A; =
nl nl
· = _:_ =
(n-m)! O!
n! bo'lad1.

2. 
   Qaytariladigan tanlashlar sxemasi
   

Qaytariladigan guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( 0 < m :s; n ) tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:


(1.6.5)


Qaytariladigan o'rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m ( 0 < m :s; n) tadan qaytariladigan o'rinlashtirishlari soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
^(1.6.6)


Qaytariladigan o'rin almashtirishlar soni: k hil n ta elementdan iborat to'plamda I-element n₁ marta, 2-element n₂ marta, ... , k- element nk marta qaytarilsin va n₁ + n₂ +... + nk = n bo'lsin, u holda n ta elementdan iborat o'rin almashtirish Pn ( n₁ , n₂ , ... , nk) orqali belgilanadi va u quyidagicha hisoblanadi:


(1.6.4)
Endi ehtimollik hisoblashga doir misollar keltiramiz.
1.5-misol. Telefon nomerini terayotganda abonent oxirgi ikki raqamni eslay olmadi. U bu raqamlar har xil ekanligini eslab, ularni tavakkaliga terdi. Telefon nomeri to' g' ri terilganligi ehtimolligini toping.

10
Oxirgi ikki raqamni A ² usul bilan terish mumkin. A={ telefon nomeri
to'g'ri terilgan} hodisasini kiritamiz. A hodisa faqat bitta elementdan iborat bo'ladi(chunki kerakli telefon nomeri bitta bo'ladi). Shuning uchun klassik
. N(A) I I I

ta'nfga ko'ra P(A) = -- = -
N(D.) AlO²
= -- = - O.Oll
IO .9 90

1.6-misol. 100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli bo' lsin. Tavakkaliga olingan 10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo'lishi ehtimolligini toping.

0
100 ta lotoreya biletlaridan 10 tasini cig
usul bilan tanlash mumkin.

B ={10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo'lishi } hodisasi bo'lsa,

N(B) c-¹
_c 9 ₁

.
N(B) = C ¹ C ⁹ va P(B) = -- = ^{1 99} = - = 0.1
1 99 N(O) C10 10
100

c:
1.7-misol. Pochta bo'limida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta otkritkadan: a) 4 tasi bir xilda; b) 4 tasi turli xilda bo'lishi ehtimolliklarini toping.
6 xil otkritkadan 4 tasini usul bilan tanlash mumkin. a) A={ 4 ta bir xildagi otkritka sotilgan} hodisasi bo' lsin. A hodisaning elementar hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng, ya'ni N(A)=6. Klassik

ta^' n^·1^+.ga
^ko^' ra
P(A) = N_N((_OA)₎ = _c:
= _i_ = _!_ b 'l ct·

o a 1.
126 21
b) B={4
ta ^har x1^·1

otkritka sotilgan} hodisasi bo'lsin, u holda N(B) = c: ga teng va
P(B=) N(B)= c:= !_2=_ _2
N(O) c: 126 42
Klassik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:
1. P(0) = 0;
2. P(O)=l;
3. 0::;;P(A)::;;I;

4. 
   Agar A-B=0 bo'lsa, uholda P(A+B)=P(A)+P(B);
   
5. 
   'v'A,B En uchun P(A+B) =P(A)+P(B)-P(A·B)
   

Isboti. 1) N(0) = o bo'lgani uchun klassik ta'rifga ko'ra P(0) = ;; ; = o.

2. 
   Klassik ta'rifga ko'ra P(O) = N(O) = 1
   

N(O) .

2. 
   Ihtiyoriy A hodisa uchun 0 c Ac n ekanligidan 0::;; P(A)::;; 1 bo'ladi.
   
3. 
   Agar A-B=0 bo'lsa, u holda N(A+B)=N(A)+N(B) va
   

P(A+ B=) N(A +B)= N(A) +N(B=) N(A)+ N(B)= P(A)+ P(B)
N(O) N(O) N(O) N(O) .

2. 
   A+B va B hodisalami birgalikda bo'lmagan ikki hodisalar yig'ndisi shaklida yozib olamiz:
   

- - -
A+ B =A+ B · A (1.3 - misol), B = B · Q = B·(A+ A)= A· B + B ·A, u holda 4-
xossaga ko'ra P(A + B) = P(A) + P(B · A) va P(B) = P(A · B) + P(B ·A). Bu ikki tenglikdan P(A + B) = P(A) +P(B)- P(A·B) kelib chiqadi. ■

4. 
   Ehtimollikning geometrik ta'rifi
   

Ehtimolning klassik ta'rifiga ko'ra n - elementar hodisalar fazosi chekli bo'lgandagina hisoblashimiz mumkin. Agar n cheksiz teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo'Isa, geometrik

ehtimollikdan foydalanamiz.
O'lchovli biror G soha berilgan bo'lib, u D sohani o'z ichiga olsin. G sohaga tavakkaliga tashlangan X nuqtani D sohaga tushishi ehtimolligini hisoblash masalasini ko'ramiz. Bu yerda X nuqtaning G sohaga tushishi muqarrar va D sohaga tushishi tasodifiy hodisa

6-rasm.
bo'ladi. A={x ED} -X nuqtaning D sohaga

tushishi hodisasi bo'lsin.

1. 
   hodisaning geometrik ehtimolligi deb, D soha o'lchovini G soha o'lchoviga nisbatiga aytiladi, ya'ni
   

P(A=)
mes{D} mes{G}'

bu yerda mes orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.

1.8-misol. l uzunlikdagi sterjen tavakkaliga tanlangan ikki nuqtada bo'laklarga bo'lindi. Hosil bo'lgan bo'laklardan uchburchak yasash mumkin bo'lishi ehtimolligini toping.

y


/J2


1/2
Birinchi bo'lak uzunligini x, ikkinchi bo'lak uzunligini y bilan belgilasak, uchinchi bo'lak uzunligi l-x-y bo'ladi. Bu yerda n = {(x,y): o < x+ y < l},
ya' ni o < x + y < l sterjenning bo'laklari uzunliklarining bareha bo' lishi mumkin bo'lgan kombinatsiyasidir. Bu bo'laklardan uchburchak yasash mumkin bo'lishi uchun quyidagi shartlar
x • bajarilishi kerak: x + y > l - x- y,
x+l-x-y>y, y+l-x-y>x.

7-rasm.

Bulardan x < !_, y < !_, x + y > !_ ekanligi kelib chiqadi.
2 2 2
Bu tengsizliklar 7-rasmdagi bo'yalgan sohani bildiradi. Ehtimollikning geometrik ta'rifiga ko'ra:
I l l

P(A)= mes{A}=

·2 ·2

2= _!_.

mes{G} _!
2
1 1 ⁴

1.9-misol. (Uchrashuv haqida)
Ikki do' st soat 9 bilan 10 orasida uchrashishga kelishishdi. Birinchi kelgan kishi do'stini 15 daqiqa davomida kutishini, agar shu vaqt mobaynida do' sti kelmasa u ketishi mumkinligini shartlashib olishdi. Agar ular soat 9 bilan 10 orasida ixtiyoriy momentda kelishlari mumkin bo'Isa, bu ikki do'stning uchrashishi ehtimolini toping.
Birinchi kishi kelgan momentni x, ikkinchisinikini y bo'lsin:
o sx s 60, o ::;; y ::;; 60 U holda ulaming
y ^{uchrashishlari uchun Ix - YI s 15}
₆₀ tengsizlik bajarilishi kerak.
Demak, n = {(x,y): o s x s 60, o sys 60},
A={(x,y):lx-ylsl5}. x vay larni Dekart koordinatalar tekisligida tasvirlaymiz( 8-rasm).
U holda
15

X
60L^- - 2 • -¹ • 45 • 45

P(A=)
mes{A}= 2 ⁷

¹⁵ 60
mes{G} 60 ^{2 =} 16

8-rasm.

5. 
   Ehtimollikning aksiomatik ta' rifi
   

Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov tomonidan 30-yillaming boshlarida asos solingan.

n- biror tajribaning barcha elementar hodisalar to'plami, S-hodisalar
algebrasi bo'lsin.

S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi P(A) fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o'rinli bo'lsa:
Al: ihtiyoriy A Es hodisaning ehtimolligi manfiy emas P(A) :2: o
(nomanfiylik aksiomasi);
A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng P(D.) = 1
(normallashtirish aksiomasi);
A3: juft-jufti bilan birgalikda bo'lmagan hodisalar yig'indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig'indisiga teng, ya'ni agar A;. Aj = 0, i* J bo'lsa, u holda
P(LJAk) = LP(Ak)
k k

(additivlik aksiomasi);
(0, S, P) uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P­ qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.

bu yerda n-elementar Al-A3 aksiomalarni

6. 
   Ehtimollikning xossalari
   

Kolmogorov aksiomalarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalami keltiramiz:

1. 
   Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng
   

P(0) = 0.

2. 
   Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi birga teng
   

P(A)+P(A) =I.

3. 
   Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o'rinli:
   

0::;; P(A)::;; I

4. 
   Agar Ac B bo'lsa, u holda P(A) P(B).
   
5. 
   
   n
   Agar birgalikda bo'lmagan A₁ , A ₂ , ... , An hodisalar to' la gruppan1 tashkil etsa, ya'ni LJAi = n va Ai• Aj = 0, i* J bo'lsa u holda
   

i=l
n
LP(A;)=l.
i=l

Isboti:
I. A+0 = A, A· 0 =0 tengliklardan A3
P(A) +P(0) = P(A) P(0) = 0
- -

aksiomaga ko'ra

2. 
   A+ A= n A-A= n tengliklardan P(A) + P(A) = P(O) hamda A2 va A3 aksiomalardan esa P(A) +P(A) = I tenglik kelib chiqadi.
   
3. 
   2-xossaga ko'ra P(A) = I-P(A) va Al aksiomaga asosan O::; P(A)::; 1.
   
4. 
   Ac B ekanligidan B = (B-A)+A va (B-A)A = 0. A3 aksiomaga ko'ra
   

P(B)=P(B-A)+P(A), ammo P(B-A)?:.0 bo'lgani uchun P(A) P(B).

2. 
   A₁ + A₂ +... + An = n tenglik, A2 va A3 aksiomalarga ko' ra
   

P(Al + A2 + ... +An)= P(A1) + P(A2) + ... + P(An). ■

7. 
   Ehtimolliklar fazosi
   

Elementar hodisalar fazosi cheksiz bo'lsin: n ={m₁ , m₂ , ... , mn,··-}. S esa n ning barcha qism to'plamlaridan tashkil topgan hodisalar algebrasi bo'lsin. Har bir mi En, i = I,2,... elementar hodisaga p(m;) sonni mos qo'yamiz. p(m;)-elementar hodisaning ehtimoli deyiladi. Demak, n da
quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonli p(m;) funksiya kiritamiz: 1. VO)i En, P(m;)?:. 0;
00
2. LP(m;)=l.
i=l
U holda AEn hodisaning ehtimolligi yig'indi shaklida ifodalanadi:

P(A)= LP(m;)
CO;EA
(1.10.1)

Ehtimollikni bunday aniqlash Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:

I. P(A) = LP(mJ o, chunki har bir P(m;)?:. 0;
n
2. P(O) = LP(OJ;) = LP(OJ;) =I;
CO;EO i=l
3. Agar A· B =0 bo'lsa, u holda


P(A + B) = LP(OJ;) = LP(OJ;) + LP(OJ;) = P(A) + P(B).

Bunday aniqlangan {O,S, P} uchlik ehtimolliklar fazosi(yoki diskret ehtimolliklar fazosi) deyiladi.
Agar n ={m₁ , m₂ , ... , mn} - chekli fazo va tajribadagi barcha elementar
hodisalar teng imkoniyatli bo'lsa, ya'ni


(1.10.2)
u holda (1.10.1) formula quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

P(A) = ^'L^°.^'.p(mJ =^I-+-^I +...+-^I


=^m- .

(1.10.3)

co;EA n n n n
m
Bu yerda m A hodisaga tegishli elementar hodisalar soni. Bu esa ehtimollikni klassik ta'rifga ko'ra hisoblashdir. Demak, klassik ehtimol (1.10.1) formula orqali aniqlangan ehtimollikning xususiy holi ekan.