Hisoblash usullari

2.2. Eyler usuli
Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi.
Masalan, ketma – ket differensiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p
hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakkab
integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funksiyalar elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda yechimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish
qulay bo`ladi. Differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan yechganda yechimlar
jadval ko`rinishida olinadi.

2.3. Adams ekstrapolyatsion metodi

Faraz qilaylik, y(x) funktsiyani x_n ,x_n−1,...,x_n−k nuqtalarda qiymati ma`lum bo’lsin. x ₌ x_n + uh almashtirish bajaramiz. U holda (34) quyidagi ko’rinishga keladi [4].

(36) ni (35) ga qo’yamiz va integrallash amalini bajarsak, quyidagi formulaga ega bo’lamiz:
Bu integraldagi u(u ₊1)...(u ₊ k) ishora saqlaganligi uchun, o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan va y^(k+2) (x) ni uzluksizligidan
Rk =h^k+2 c(k+1)y^(k+2) (ξ)du, xn−k ≤ (ξ) ≤ xn+1
kelib chiqadi. Agar M_k+2 = xn^max−k≤x≤xn y^(k+2) (x) desak va C_k > 0 ni e`tiborga olsak,
Rk = h<sup>k+</sup>2c<sub>k+1</sub>M <sub>k+2</sub> (39)
bo’ladi. Agar h > 0 yetarlicha kichik bo’lsa R<sub>k</sub> = O(h<sup>k+2</sup> ) xatolikni e`tiborga olmasak, Adams ekstrapolyatsion metodining hisob formulasiga ega bo’lamiz:
Agar (40) da k = 0 bo’lsa, y_n+1 = y_n + hf (x_n , y_n ) - Eyler usuli hosil bo’ladi. Agar
k ≥1 bo’lganda y_n , y_n−1,..., y_n−k larni ma`lum deb (40) dan ketma-ket
yn+1, yn+2,...
lar topiladi.
Bu metodni qiyinchiliksiz birinchi tartibli differentsial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga qo’llash mumkin. Buni quyidagi masalada namoyish etamiz:
y′ = f (x, y, z), y(x₀ ) = y₀,
z′ = ϕ(x, y,z), z(x₀) = z₀,