Hisoblash usullari

Ishning tuzilishi. Mazkur kurs ish kirish uchta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar Birinchi paragrafta differentsial tenglama haqida umumiy tushinchalar, ikkinchi paragrafta Koshi masalasi va o’ning quyilishi, Adams ekstrapolyatsion va interpolyatsion metodlari, uchinchi paragrafta esa oddiy differentsial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalalarni echish usullaridan kollokatsiya, haydash va Galerkin usullari qaralgan.
tizimidan iborat bo’lib jami 50 betdan iborat.

§1. Differentsial tenglama tushinchasi

Ta`rif: Erkli o`zgaruvchi va noma`lum funksiya hamda uning xosilalari yoki differentsiallarini bog’lovchi munosabat differentsial tenglama deyiladi.
Agar noma`lum funksiya fakat bitta o`zgaruvchiga boglik bulsa, bunday differentsial tenglama oddiy differentsial tenglama deyiladi.
Agar noma`lum funksiya ikki yoki undan ortik o`zgaruvchiga bog`lik bo`lsa, bunday differentsial tenglamani xususiy xosilali differentsial tenglama deyiladi.
Ta`rif: Differentsial tenglamaga kirgan xosilalarning eng yuqori tartibi tenglamaning tartibi deyiladi.
y''−y'cosx −x ² y= 0 - ikkinchi tartibli differentsial tenglama.
x(1− y² )dx + y(1+ x² )dy = 0 - birinchi tartibli differentsial tenglama.
F(x,y,y',y'',...,y⁽ⁿ⁾ ) = 0 (4)
bu erda x - erkli o`zgaruvchi, y - noma`lum funk siya y’,y’’,...,y⁽ⁿ⁾ - noma`lum funktsiyaning xosilalari
Ta`rif: Differentsial tenglamaning echimi yoki integrali deb, tenglamaga quyganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differentsiallanuvchi y _=𐐐(x) funktsiyaga aytiladi.
3-Misol.
y=3e^x va y=4e^-x funktsiyalarning differentsial tenglamaning yechimi bo`ladimi eki yo`qmi?

1. 
   y=3e^x; y’=3e^x; y’’=3e^x .
   

y" -y=0, 3e^x-3e^x = 0 ; 0=0
Demak, y=3e^x tenglamaning yechimi

2. 
   y=4e^-x ; y’=-4e^-x ; y"=4e^-x.
   

y" -y = 0 _⇒ 4e^-x-4e^-x=0; _⇒ 0=0
Demak, y=4e^-x funksiya ham berilgan differentsial tenglamaning echimidir.

Ta`rif: Differentsial tenglama yechimining grafigi integral egri chizigi deyiladi.
Tenglamani yechimini topish jarayonini differentsial tenglamani integrallash deyiladi.
F(x,y,y’)=0 (5)
Birinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy ko`rinishi deyiladi.
Uni y’ ga nisbatan yechish mumkin bo`lsa,uni quydagicha yozish mumkin:
y’=f(x,y) (6)
Yoki
M(x,y)dx+N(x,y)dy (7)
bunday yozuvni simmetrik yozuv deb ataladi,chunki bunda x va u o`zgaruvchilar teng huquqlidir.
Differentsial tenglamani bitta funktsiya emas,balki funktsiyalarning butun bir to`plami qanoatlantirishi mumkin.
y x=x0 = y0 (8)
Differentsial tenglama uchun boshlangich shart deyiladi [3].
Ta`rif: Birinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=𐐐(x,c)
(bunda c- ixtiyoriy o`zgarmas son) funksiyaga aytiladi:

1. 
   u ixtiyoriy o`zgarmas c ning har qanday qiymatida differentsial tenglamani qanoatlantiradi.
   
2. 
   boshlangich y_x=x0=y₀ shart har qanday bo`lganda xam, ixtiyoriy o`zgarmas s ning shunday s_o qiymatini topish mumkinki , y=ϕ(x,c₀) funksiya boshlangich shartni qanoatlantiradi, ya`ni
   

y₀=_ϕ(x₀,c₀)

Ta`rif: Differentsial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy o`zgarmasning mumkin bo`lgan qiymatlarida xosil qilinadigan yechimlar xususiy echimlar deyiladi. Bu ta`riflarni boshqacha qilib aytganda Koshi masalasi, ya`ni differentsial tenglamaning echimini mavjudligi deb va yagonaligi haqidadir.